Az $ABC$ háromszögben $A_1$ és $B_1$ a $BC$ illetve $AC$ oldalak belső pontjai. $AA_1$ és $BB_1$ metszéspontja $M$ . Az $AMB_1$ , $AMB$ és $BMA_1$ háromszögek területe rendre 3, 7 és 7 egység. Mennyi a $CB_1MA_1$ négyszög területe?
 
Végeredmény: 18
Jelölje a $CB_1M$ , $CMA_1$ háromszögek területét $x$ illetve $y$ . A $CB_1M$ , $B_1AM$ háromszögek $M$ -hez tartozó magassága azonos, csakúgy, mint a $CB_1B$ , $B_1AB$ háromszögek $B$ -hez tartozó magassága. Így a két háromszög területének aránya mindkét esetben a $CB_1$ , $B_1A$ oldalak arányával egyezik meg, tehát egymással is egyenlő:
Ehhez hasonlóan írható vizsgálható a $CA_1M$ , $A_1BM$ illetve a $CA_1A$ , $A_1AB$ háromszögek területének aránya:
Az egyenletrendszerből $x=7,5$ , $y=10,5$ tehát a kérdezett terület: $x+y=18$ .
2. Megoldás
Fejezzük ki $M(a, b, c)$ baricentrikus koordinátáit! $\frac{B_1M}{B_1B} = \frac 3{3+7}$ , tehát $b=\frac 3{10}$ , és $\frac{A_1M}{A_1A} = \frac 7{7+7}$ , ezért $a = \frac 7{14} = \frac 12$ . Tehát $M$ koordinátái $(1/2, 3/10, 1/5)$ , vagyis $\frac{ABM}{ABC} = \frac 15$ . Tehát $ABC$ területe $ 5\cdot 7 = 35$ , amiből a négyszög területe $ 35-(3+7+7) = 18$ .
3. Megoldás
A $BM$ alaphoz tartozó $BMA$ , $BMA_1$ háromszögek egyenlő területűek, így a $BM_1$ alaphoz tartozó $B_1MA$ , $B_MA_1$ háromszögek területe is egyenlő, mindkettőé $ 3$ . Jelölje még $T$ a $A_1B_1C$ háromszög területét! Mivel
így $\frac{T}{6}=\frac{T+10}{10}$ , amiből $T=15$ és a kérdezett érték $ 18$ .