Melyik $n<10000$ -re van a legtöbb olyan $k$ pozitív egész, hogy $n$ -et $ 2k+1$ -gyel osztva $k$ lesz a maradék? Adjuk meg $n$ értékét!
 
Végeredmény: 8662
$n\equiv k\pmod{2k+1}$ akkor és csak akkor, ha $ 2k+1|2n+1$ , tehát elég megmondani, hogy 20000-ig melyik $m = 2n+1$ páratlan számnak van a legtöbb osztója (a $k$ -k száma ennél 1-gyel kevesebb, mert $ 2k+1 \neq 1$ .)
Tegyük fel, hogy $d(m) = (l_1+1)\cdot (l_2+1)\cdot\ldots$ maximális, az ilyen $m<20000$ számok között pedig $m$ minimális. Ekkor $l_1\geq l_2\geq \ldots l_s$ . Ha a $ 13$ exponense, $l_5 \ge 1$ , akkor $ 2n+1 \ge 3\cdot 5\cdot (7\cdot 11 \cdot 13) = 15\cdot 1001 = 15015$ , tehát $l_1 = \dots = l_5 = 1$ , $l_6 = 0$ , vagyis $d(m) = 32$ . Tegyük fel, hogy $l_4 = 0$ (a $ 11$ sem szerepel). Ekkor: $l_2 = 0$ (nincs 5-ös) esetén 3-hatványt kapunk, ami triviális, hogy nem a legjobb. $l_2 = 1$ esetén vagy $m = 3^{l_1} \cdot 5 \cdot 7$ , amiből könnyen jön $l_1 \le 7$ , tehát $d(m) \le 32$ , vagy pedig $m = 3^{l_1} \cdot 5$ , amiből bőven $d(m) < 10\cdot 2$ . $l_2 \ge 2$ és $l_1 \ge 3$ esetén $\frac {11}{15}m$ -nek legalább $\frac 21 \cdot \frac 34 \cdot \frac 23 = 1$ -szer annyi osztója van és kisebb, ellentmondás. $l_1 = l_2 = 2$ esetén $l_3 \ge 2$ , ezért $\frac {11}{7}m$ jobb. Tehát feltehető, hogy $l_4 = 1$ , $l_5 = 0$ . Vagyis $m = 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11 \cdot m' = 1155m'$ , ahol $m'$ prímtényezői a $ 3$ , $ 5$ , $ 7$ közül kerülnek ki. $m_0 < 20$ . $m_0$ lehetséges értékei $ 1, 3, 5, 7, 9, 15$ , amik közül könnyen látszik, hogy a $ 15$ élesen a legjobb ( $d(m)=36)$ ), tehát $m = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11$ , amiből $n = \frac{m-1}2 = 8662$ . A lépéseket követve az is látható, hogy más $m'<20000$ -re $d(m')<d(m)$ .
Megjegyzés
Ez a példa rokona a szokásos feladatoknak, hogy pl. ,,volt $n$ süti, és akár $ 2, 3, 4, \ldots$ felé akarták osztani, mindig maradt 1 extra, mennyi $n$ ?''.