Aladár, Béla és Cili játszanak. Aladárnak $ 15$ , Bélának $ 17$ , Cilinek $ 20$ dollárja van. Egy menetben véletlenszerűen kiválasztanak két olyan játékost, akinek még van pénze és azok egymással játszanak. $ 50-50\%$ , hogy egyikük illetve másikuk nyer. A vesztes $ 1$ dollárt ad a győztesnek. Akinek elfogy a pénze, ez kiesik. Addig tart a játék, amíg egyikük elnyeri az összes pénzt. Átlagosan hány menetből áll a játék?
 
Végeredmény: 895
Két játékos esetén, kiknek kezdetben $a$ illetve $b$ dollárjuk van, a játék várható hossza $ab$ , három esetén, ha a harmadiknak $c$ dollárja van $ab+bc+ca$ . Ezt könnyű igazolni a felírható egyenletrendszerrel.
I. Megjegyzés
Az előző megoldásban tényleg könnyű igazolni a Markov-láncnak megfelelő egyenleteket, bár a teljesen szigorú bizonyításhoz még kell egy kis munka: be kell látni, hogy minden várható érték véges (ez egyszerű), és hogy az egyenletrendszer megoldása egyértelmű (kis lineáris algebra). További kérdés, hogy hogyan fogjuk megsejteni az eredményt. Ha ismerjük a választ 2 játékossal, akkor a következő gondolatmenet kiküszöböli a ,,vegyük észre, hogy''-ot. Nézzük a játékot Aladár szemszögéből. őt nem érdekli, hogy Béla és Cili közül kinek mennyi pénze van, csak az, hogy neki, ill. ellenfeleinek összesen mennyi van. Kezdetben $a$ van neki és $b+c$ az ellenfeleinek. Mikor Béla és Cili játszik, Aladár kávészünetet tart; őt csak az érdekli, hogy neki hányat kell várhatóan játszania a játék végéig. Erre már tudjuk a választ: Aladár játékainak várható száma $EX_A = a(b+c)$ . Hasonlóan $EX_B = b(a+c)$ és $EX_C = c(a+b)$ . Mivel minden játékban ketten játszanak, az összes játékok száma $X = \frac {X_A + X_B + X_C}2$ , tehát várhatóan $EX = \frac {EX_A + EX_B + EX_C}2 = ab + ac + bc$ . Hasonló képletet kapunk a játék átlagos hosszára $n$ játékos esetén is.
II. Megjegyzés
Az $a+b+c = N$ síkon lényegében a diszkretizált hőegyenletet oldjuk meg; ha orthonormált koordinátákat veszünk fel ezen a síkon, akkor a $\sqrt 2$ rácsállandójú háromszögrács pontjaira felírt ,,diszkrét Laplace-operátorral'' $\Delta f = -\frac 12$ konstans. Ebből kitalálható, hogy a megoldást $f(\mathbf x) = K - \frac 12 (\mathbf x - \mathbf{x}_0)^2$ alakban kell keresni; $\mathbf {x}_0$ nyilván a középpont, $K$ pedig annyi, hogy a háromszög sarkaiban pont $ 0$ legyen a várható érték.