\documentclass [10pt]{article}
\usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-math,pst-xkey}

\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{pst-plot}
\usepackage{pst-eps}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amsmath, amssymb, epsfig, theorem}

\usepackage{hyperref}
%\usepackage [cp1250]{inputenc}

\usepackage {fancyhdr}
\pagestyle{fancy}

\begin{document}



\fancyhead{}
\fancyhead[L]{Folytonos eloszl\'{a}sok}
\fancyhead[R]{2013-2014, 12c, Fazekas}
\fancyfoot[L]{matematika tagozat}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[R]{Hrask\'{o} Andr\'{a}s \'{e}s Nagy D\'{a}niel}

%\lfoot{}
%\cfoot{\thepage}
%\rfoot{}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\tableofcontents


\section{Egyenletes eloszl\'{a}s}

\medskip

\textbf{soltivalfolyt10} \cite{SOLTVA}

Egy p\'{a}lc\'{a}t v\'{e}letlenszer\H{u}en kett\'{e}t\"{o}r\"{u}nk. Jel\"{o}lj\"{u}k a p\'{a}lca v\'{e}gponjait $A$-val \'{e}s $B$-vel,  a t\"{o}r\'{e}spontot $Q$-val. 


\textbf{a)} Mekkora a val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}ge annak, hogy a $Q$ pont k\"{o}zelebb lesz $A$-hoz, mint $B$-hez? 

\textbf{b)} Mekkora a val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}ge annak, hogy a t\"{o}r\'{e}s ut\'{a}n az egyik szakasz legal\'{a}bb k\'{e}tszer akkora lesz, mint a m\'{a}sik?


\medskip

\textbf{soltivalfolyt20}  \cite{SOLTVA}
 
Egy p\'{a}lc\'{a}t v\'{e}letlenszer\H{u}en h\'{a}rom r\'{e}szre t\"{o}r\"{u}nk. Jel\"{o}lj\"{u}k a p\'{a}lca v\'{e}gponjait $A$-val \'{e}s $B$-vel, a t\"{o}r\'{e}spontokat $Q$-val \'{e}s $R$-rel. Mekkora a val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}ge annak, hogy a t\"{o}r\'{e}s ut\'{a}n a h\'{a}rom szakaszb\'{o}l h\'{a}romsz\"{o}g szerkeszthet\H{o}?


\medskip

\textbf{Megold\'{a}s}

Tekints\"{u}k \'{u}gy, hogy $Q$ \'{e}s $R$ v\'{a}laszt\'{a}sa az $AB$ szakaszon egym\'{a}st\'{o}l f\"{u}ggetlen\"{u}l \'{e}s egyenletes eloszl\'{a}ssal t\"{o}rt\'{e}nik. Felvesz\"{u}nk egy sz\'{a}megyenest, amelyen $A$ a $0$-nak, $B$ az $1$-nek, $Q$ \'{e}s $R$ az $x$, $y$ sz\'{a}moknak felel meg ($x,y\in [0;1]$). Ekkor a $P(x;y)$ pont a $(0;0)$, $(1;0)$, $(1;1)$, $(0;1)$ cs\'{u}csok \'{a}ltal kifesz\'{i}tett egys\'{e}gn\'{e}gyzetben egyenletes eloszl\'{a}s\'{u}. 

Amennyiben $x>y$, azaz $P$ az egys\'{e}gn\'{e}gyzet $y=x$ egyenese ,,alatt'' helyezkedik el, akkor a h\'{a}rom l\'{e}trej\"{o}tt szakasz hossza
$$y,\qquad (x-y),\qquad (1-x).$$
A h\'{a}romsz\"{o}g-egyenl\H{o}tlens\'{e}gek ebben az esetben:
$$y+ (x-y)> 1-x,\qquad (1-x) + y > x-y,\qquad (x-y)+ (1-x)> y,$$
azaz 
$$x>\frac{1}{2},\qquad \frac{1}{2} > x-y,\qquad \frac{1}{2} > y.$$
Ezeknek a felt\'{e}teleknek rendre az al\'{a}bbi bal oldali \'{a}br\'{a}n f\"{u}gg\H{o}legesen, v\'{i}zszintesen, har\'{a}nt cs\'{i}kozott r\'{e}szek felelnek meg, teh\'{a}t egyes\'{i}t\'{e}s\"{u}knek a k\"{o}z\'{e}ps\H{o} \'{a}bra. Az $x\leq y$ esetet hasonl\'{o}an vizsg\'{a}lva kapjuk meg az \"{o}sszes megfelel\H{o} $P(x;y)$ pontot, melyek halmaz\'{a}t az al\'{a}bbi jobb oldali \'{a}br\'{a}n s\"{o}t\'{e}tsz\"{u}rk\'{e}vel jel\"{o}lt\"{u}k. 

\psset{unit=2.2cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(4.9,1.5)
\rput(0,0){
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\pspolygon[fillstyle=vlines, hatchangle=0](0.5,0)(1,0)(1,1)(0.5,0.5)
\pspolygon[fillstyle=hlines, hatchangle=0](1,0.5)(1,0)(0,0)(0.5,0.5)
\pspolygon[fillstyle=hlines, hatchangle=45](0.5,0)(1,0.5)(1,1)(0,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1.2,0)\uput[0](1.2,0){$x$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1.2)\uput[90](0,1.2){$y$}
\psline[linewidth=1.5pt](0.5,0.5)(1,0.5)
\psline[linewidth=1.5pt](0.5,0.5)(0.5,0)
\psline[linewidth=1.5pt](0.5,0)(1,0.5)
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
}
\rput(1.8,0){
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=gray](0.5,0.5)(1,0.5)(0.5,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1.2,0)\uput[0](1.2,0){$x$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1.2)\uput[90](0,1.2){$y$}
\psline[linewidth=1.5pt](0.5,0.5)(1,0.5)
\psline[linewidth=1.5pt](0.5,0.5)(0.5,0)
\psline[linewidth=1.5pt](0.5,0)(1,0.5)
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)}
\rput(3.6,0){
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=gray](0.5,0.5)(1,0.5)(0.5,0)
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=gray](0.5,0.5)(0.5,1)(0,0.5)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1.2,0)\uput[0](1.2,0){$x$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1.2)\uput[90](0,1.2){$y$}
\psline[linewidth=1.5pt](0.5,0.5)(0.5,1)
\psline[linewidth=1.5pt](0.5,0.5)(0,0.5)
\psline[linewidth=1.5pt](0,0.5)(0.5,1)
\psline[linewidth=1.5pt](0.5,0.5)(1,0.5)
\psline[linewidth=1.5pt](0.5,0.5)(0.5,0)
\psline[linewidth=1.5pt](0.5,0)(1,0.5)
}
\end{pspicture}

A s\"{o}t\'{e}tsz\"{u}rke r\'{e}sz ter\"{u}lete az egys\'{e}gn\'{e}gyzet ter\"{u}let\'{e}nek negyede, teh\'{a}t $\frac{1}{4}$ annak val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}ge, hogy a h\'{a}rom r\'{e}szb\H{o}l szerkeszthet\H{o} h\'{a}romsz\"{o}g.

\medskip

\textbf{soltivalfolyt30} \cite{SOLTVA}

K\'{e}t szem\'{e}ly megbesz\'{e}li, hogy de. 10 \'{e}s 11 \'{o}ra k\"{o}z\"{o}tt tal\'{a}lkoznak. \'{e}rkez\'{e}s\"{u}k ezen id\H{o}szak k\"{o}zben v\'{e}letlenszer\H{u}. Mi annak a val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}ge, hogy az el\H{o}bb j\"{o}v\H{o}nek nem kell negyed \'{o}r\'{a}n\'{a}l t\"{o}bbet v\'{a}rnia?


\medskip

\textbf{soltivalfolyt40}
 
A $[0;1]$ intervallumon egym\'{a}st\'{o}l f\"{u}ggetlen\"{u}l \'{e}s egyenletes eloszl\'{a}ssal vessz\"{u}k fel a $Q$ \'{e}s az $R$ pontot. Hat\'{a}rozzuk meg minden $d\in[0;1]$ sz\'{a}mra annak val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}g\'{e}t, hogy

\textbf{a)} a $QR$ szakasz hossza legfeljebb $d$;


\textbf{b)} ha a $[0;1]$ intervallumot a $Q$, $R$ pontokn\'{a}l ,,elv\'{a}gjuk'', akkor a kapott h\'{a}rom szakasz {\em mindegyike legfeljebb} $d$ hossz\'{u}s\'{a}g\'{u};

\textbf{c)} a b)-ben eml\'{i}tett h\'{a}rom szakasz {\em k\"{o}z\"{o}tt van legfeljebb} $d$ hossz\'{u}s\'{a}g\'{u};

\textbf{d)} a b)-ben eml\'{i}tett h\'{a}rom szakasz {\em mindegyike legal\'{a}bb} $d$ hossz\'{u}s\'{a}g\'{u}!

\medskip

\textbf{a) megold\'{a}sa}

Ha $Q$ \'{e}s $R$ az $x$, $y$ sz\'{a}moknak felel meg ($x,y\in [0;1]$), akkor a $P(x;y)$ pont a $(0;0)$, $(1;0)$, $(1;1)$, $(0;1)$ cs\'{u}csok \'{a}ltal kifesz\'{i}tett egys\'{e}gn\'{e}gyzetben egyenletes eloszl\'{a}s\'{u}. 
Az $|RQ|\leq d$ felt\'{e}tel a $$-d\leq y-x\leq d$$
egyenl\H{o}tlens\'{e}g-rendszernek felel meg. Az ezeknek megfelel\H{o} $P$ pontok halmaza az al\'{a}bbi \'{a}br\'{a}n s\"{o}t\'{e}tsz\"{u}rk\'{e}vel jel\"{o}lt tartom\'{a}ny.

\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(1.3,1.5)
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=gray](0.4,0)(1,0.6)(1,1)(0.6,1)(0,0.4)(0,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1.2,0)\uput[0](1.2,0){$x$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1.2)\uput[90](0,1.2){$y$}
\psline[linewidth=1.5pt](0.4,0)(1,0.6)
\psline[linewidth=1.5pt](0,0.4)(0.6,1)
\uput[-90](0.2,0){$d$}\uput[-90](0.7,0){$1-d$}
\uput[0](1,0.8){$d$}\uput[0](1,0.3){$1-d$}
\uput[90](0.8,1){$d$}\uput[90](0.3,1){$1-d$}
\uput[180](0,0.2){$d$}\uput[180](0,0.7){$1-d$}
\end{pspicture}

E tartom\'{a}ny ter\"{u}let\'{e}nek komplementere egy $(1-d)$ oldal\'{u} n\'{e}gyzettel egyenl\H{o} ter\"{u}let\H{u}. A keresett val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}g $d$ f\"{u}ggv\'{e}ny\'{e}ben:
$$F(d)=1-(1-d)^2=2d-d^2.$$

\medskip

\textbf{b) megold\'{a}sa}

Ha $x>y$, azaz $P$ az egys\'{e}gn\'{e}gyzet $y=x$ egyenese ,,alatt'' helyezkedik el, akkor a h\'{a}rom l\'{e}trej\"{o}tt szakasz hossza $y$, $(x-y)$, $(1-x)$, teh\'{a}t a felt\'{e}telek:
$$y\leq d,\qquad x-y\leq d,\qquad 1-x\leq d.$$
Az ezeknek megfelel\H{o} tartom\'{a}nyok az al\'{a}bbi \'{a}br\'{a}n l\'{a}that\'{o}k.

\psset{unit=2.2cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(4.9,1.5)
\rput(0,0){\rput(0.5,1.2){$y\leq d$}
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\pspolygon[fillstyle=hlines, hatchangle=0](1,0.7)(0.7,0.7)(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1.2,0)\uput[0](1.2,0){$x$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1.2)\uput[90](0,1.2){$y$}
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.5pt](0.7,0.7)(1,0.7)
\uput[0](1,0.35){$d$}
\uput[0](1,0.85){$1-d$}
}
\rput(1.8,0){\rput(0.5,1.2){$x-y\leq d$}
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\pspolygon[fillstyle=hlines, hatchangle=45](0.7,0)(1,0.3)(1,1)(0,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1.2,0)\uput[0](1.2,0){$x$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1.2)\uput[90](0,1.2){$y$}
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.5pt](0.7,0)(1,0.3)
\uput[0](1,0.15){$1-d$}
\uput[0](1,0.65){$d$}
\uput[-90](0.85,0){$1-d$}
\uput[-90](0.35,0){$d$}
}
\rput(3.6,0){\rput(0.5,1.2){$1-x\leq d$}
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\pspolygon[fillstyle=vlines, hatchangle=0](0.3,0)(1,0)(1,1)(0.3,0.3)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1.2,0)\uput[0](1.2,0){$x$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1.2)\uput[90](0,1.2){$y$}
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.5pt](0.3,0)(0.3,0.3)
\uput[-90](0.15,0){$1-d$}
\uput[-90](0.65,0){$d$}
}
\end{pspicture}


E h\'{a}rom r\'{e}sz k\"{o}z\"{o}s r\'{e}sz\'{e}t kell tekinten\"{u}nk. 

A k\"{o}z\"{o}s r\'{e}sz \"{u}res, ha $d<\frac{1}{3}$. Val\'{o}ban, a h\'{a}rom r\'{e}sz k\"{o}z\"{u}l legal\'{a}bb az egyik legal\'{a}bb $\frac{1}{3}$ hossz\'{u}. De m\'{e}g $d=\frac{1}{3}$ eset\'{e}n is csak egyetlen k\"{o}z\"{o}s pont van.
A $\frac{1}{3}<d<\frac{1}{2}$ tartom\'{a}nyban a k\"{o}z\"{o}s r\'{e}sz h\'{a}romsz\"{o}g alak\'{u}, m\'{i}g $\frac{1}{2}<d$ eset\'{e}n egy hatsz\"{o}get kapunk.

\psset{unit=2.2cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(4.9,1.5)
\rput(0,0){\rput(0.5,1.2){$\frac{1}{3}<d<\frac{1}{2}$}
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=gray](0.55,0.1)(0.55,0.45)(0.9,0.45)
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=gray](0.1,0.55)(0.45,0.55)(0.45,0.9)
\pspolygon[fillstyle=hlines, hatchangle=0](1,0.45)(0.45,0.45)(0,0)(1,0)
\pspolygon[fillstyle=hlines, hatchangle=45](0.45,0)(1,0.55)(1,1)(0,0)
\pspolygon[fillstyle=vlines, hatchangle=0](0.55,0)(1,0)(1,1)(0.55,0.55)
\psline[linewidth=1.5pt](0.55,0)(0.55,0.55)

\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1.2,0)\uput[0](1.2,0){$x$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1.2)\uput[90](0,1.2){$y$}
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.5pt](0.45,0.45)(1,0.45)
\psline[linewidth=1.5pt](0.45,0)(1,0.55)
\uput[-90](0.225,0){$d$}
\uput[-90](0.775,0){$d$}
}
\rput(1.8,0){\rput(0.5,1.2){$d=\frac{1}{2}$}
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=gray](0.5,0)(0.5,0.5)(1,0.5)
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=gray](0,0.5)(0.5,0.5)(0.5,1)
\pspolygon[fillstyle=hlines, hatchangle=0](1,0.5)(0.5,0.5)(0,0)(1,0)
\pspolygon[fillstyle=hlines, hatchangle=45](0.5,0)(1,0.5)(1,1)(0,0)
\pspolygon[fillstyle=vlines, hatchangle=0](0.5,0)(1,0)(1,1)(0.5,0.5)
\psline[linewidth=1.5pt](0.5,0)(0.5,0.5)

\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1.2,0)\uput[0](1.2,0){$x$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1.2)\uput[90](0,1.2){$y$}
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.5pt](0.5,0.5)(1,0.5)
\psline[linewidth=1.5pt](0.5,0)(1,0.5)
}
\rput(3.6,0){\rput(0.5,1.2){$\frac{1}{2}<d$}
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=gray](0.3,0)(0.7,0)(1,0.3)(1,0.7)(0.7,0.7)(0.3,0.3)
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=gray](0,0.3)(0,0.7)(0.3,1)(0.7,1)(0.7,0.7)(0.3,0.3)

\pspolygon[fillstyle=hlines, hatchangle=0](1,0.7)(0.7,0.7)(0,0)(1,0)
\pspolygon[fillstyle=hlines, hatchangle=45](0.7,0)(1,0.3)(1,1)(0,0)
\pspolygon[fillstyle=vlines, hatchangle=0](0.3,0)(1,0)(1,1)(0.3,0.3)
\psline[linewidth=1.5pt](0.3,0)(0.3,0.3)

\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1.2,0)\uput[0](1.2,0){$x$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1.2)\uput[90](0,1.2){$y$}
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.5pt](0.7,0.7)(1,0.7)
\psline[linewidth=1.5pt](0.7,0)(1,0.3)

\uput[-90](0.15,0){$1-d$}
\uput[-90](0.85,0){$1-d$}
}
\end{pspicture}

Nyilv\'{a}nval\'{o}, hogy $x<y$ eset\'{e}re kapott megfelel\H{o} tartom\'{a}nyok a most kapott r\'{e}szek t\"{u}k\"{o}rk\'{e}pei az $y=x$ egyenesre. Az $x=y$ esem\'{e}ny $0$ val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}g\H{u}, ezzel k\"{u}l\"{o}n nem kell foglalkozni.

Teh\'{a}t a keresett val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}g $d$ f\"{u}ggv\'{e}ny\'{e}ben:
$$F(d)=\left\{\begin{array}{lcl}
0,& \mbox{ ha }& d\leq\frac{1}{3}\\
(3d-1)^2,& \mbox{ ha }&\frac{1}{3}<d\leq\frac{1}{2}\\
1-3(1-d)^2,& \mbox{ ha }&\frac{1}{2}<d\leq 1\\
1,& \mbox{ ha }&1<d
\end{array}
\right.
$$

\medskip

\textbf{c) megold\'{a}sa}

A b) feladathoz hasonl\'{o}an k\"{u}l\"{o}n vizsg\'{a}ljuk az $x>y$, $x<y$ eseteket. Az $x>y$ esetben a b) feladatn\'{a}l m\'{a}r meg is \'{a}llap\'{i}tottuk a l\'{e}trej\"{o}v\H{o} szakaszok hossz\'{a}t \'{e}s felrajzoltuk az egys\'{e}gn\'{e}gyzetben azoknak a pontoknak a halmaz\'{a}t, amelyekre az egyes szakaszok hossza legfeljebb $d$. M\'{i}g b)-ben a h\'{a}rom halmaz metszet\'{e}t vizsg\'{a}ltuk, most a h\'{a}rom halmaz egyes\'{i}t\'{e}se \'{e}rdekes.

\psset{unit=2.7cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(1.7,1.5)
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\pspolygon[fillstyle=hlines, hatchangle=0, hatchsep=1.8pt](1,0.25)(0.25,0.25)(0,0)(1,0)
\pspolygon[fillstyle=hlines, hatchangle=45, hatchsep=1.5pt](0.25,0)(1,0.75)(1,1)(0,0)
\pspolygon[fillstyle=vlines, hatchangle=0, hatchsep=1.8pt](0.75,0)(1,0)(1,1)(0.75,0.75)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1.2,0)\uput[0](1.2,0){$x$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1.2)\uput[90](0,1.2){$y$}
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.5pt](0.25,0.25)(1,0.25)
\psline[linewidth=1.5pt](0.25,0)(1,0.75)
\psline[linewidth=1.5pt](0.75,0)(0.75,0.75)
\uput[-90](0.125,0){$d$}
\uput[-90](0.875,0){$d$}
\end{pspicture}

Vil\'{a}gos, hogy $\frac{1}{3}\leq d$ eset\'{e}n az egyes\'{i}t\'{e}s a teljes egys\'{e}gn\'{e}gyzet, azaz biztosan van olyan szakasz a h\'{a}rom k\"{o}z\"{u}l, amelynek hossza legal\'{a}bb $d$. A $\frac{1}{3}<d$ esetben a h\'{a}rom tartom\'{a}ny egyes\'{i}t\'{e}s\'{e}nek komplementere egy $(1-3d)$ befog\'{o}j\'{u} egyenl\H{o} sz\'{a}r\'{u} der\'{e}ksz\"{o}g\H{u} h\'{a}romsz\"{o}g komplementere. Az ezzel szimmetrikus $x<y$ esetet is figyelembe v\'{e}ve a keresett val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}g:
$$F(d)=\left\{\begin{array}{lcl}
0,& \mbox{ ha }& d\leq 0\\
1-(1-3d)^2,& \mbox{ ha }&0\leq d \leq \frac{1}{3}\\
1,& \mbox{ ha }&\frac{1}{3}\leq d
\end{array}
\right.
$$ 


\medskip

\textbf{d) megold\'{a}sa}

Most is csak az $x>y$ esetet elemezz\"{u}k, az $x<y$ eset ezzel anal\'{o}g. 
A b) feladatr\'{e}szben megkaptuk a l\'{e}trej\"{o}v\H{o} szakaszok hossz\'{a}t, de most az
$$y\geq d,\qquad x-y\geq d,\qquad 1-x\geq d$$
rel\'{a}ci\'{o}k mindegyik\'{e}nek megfelel\H{o} $P(x;y)$ pontokat keress\"{u}k. Az egyes felt\'{e}teleknek megfelel\H{o} tartom\'{a}nyok az al\'{a}bbi \'{a}br\'{a}n l\'{a}that\'{o}k.

\psset{unit=2.2cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(4.9,1.5)
\rput(0,0){\rput(0.5,1.2){$y\geq d$}
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\pspolygon[fillstyle=hlines, hatchangle=0, hatchsep=1.5pt](1,0.2)(0.2,0.2)(1,1)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1.2,0)\uput[0](1.2,0){$x$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1.2)\uput[90](0,1.2){$y$}
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.5pt](0.2,0.2)(1,0.2)
\uput[0](1,0.1){$d$}
\uput[0](1,0.6){$1-d$}
}
\rput(1.8,0){\rput(0.5,1.2){$x-y\geq d$}
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\pspolygon[fillstyle=hlines, hatchangle=45, hatchsep=1.5pt](0.2,0)(1,0.8)(1,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1.2,0)\uput[0](1.2,0){$x$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1.2)\uput[90](0,1.2){$y$}
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.5pt](0.2,0)(1,0.8)
\uput[0](1,0.4){$1-d$}
\uput[0](1,0.9){$d$}
\uput[-90](0.6,0){$1-d$}
\uput[-90](0.1,0){$d$}
}
\rput(3.6,0){\rput(0.5,1.2){$1-x\geq d$}
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\pspolygon[fillstyle=vlines, hatchangle=0, hatchsep=1.5pt](0.8,0)(0,0)(0.8,0.8)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1.2,0)\uput[0](1.2,0){$x$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1.2)\uput[90](0,1.2){$y$}
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.5pt](0.8,0)(0.8,0.8)
\uput[-90](0.4,0){$1-d$}
\uput[-90](0.9,0){$d$}
}
\end{pspicture}


E h\'{a}rom r\'{e}sz k\"{o}z\"{o}s r\'{e}sz\'{e}t kell tekinten\"{u}nk. 

A k\"{o}z\"{o}s r\'{e}sz \"{u}res, ha $d>\frac{1}{3}$. Val\'{o}ban, nem lehet mind a h\'{a}rom r\'{e}sz $\frac{1}{3}$-n\'{a}l hosszabb. De m\'{e}g $d=\frac{1}{3}$ eset\'{e}n is csak egyetlen k\"{o}z\"{o}s pont van.

A $\frac{1}{3}>d$ tartom\'{a}nyban a k\"{o}z\"{o}s r\'{e}sz az al\'{a}bbi \'{a}br\'{a}n l\'{a}that\'{o} egyenl\H{o} sz\'{a}r\'{u} der\'{e}ksz\"{o}g\H{u} h\'{a}romsz\"{o}g, melynek befog\'{o}ja $(1-3d)$. 

\psset{unit=2.2cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(4.9,1.5)
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=gray](0.8,0.2)(0.8,0.6)(0.4,0.2)
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=gray](0.2,0.8)(0.6,0.8)(0.2,0.4)
\pspolygon[fillstyle=hlines, hatchangle=0, hatchsep=1.5pt](1,0.2)(0.2,0.2)(1,1)
\pspolygon[fillstyle=hlines, hatchangle=45, hatchsep=1.5pt](0.2,0)(1,0.8)(1,0)
\pspolygon[fillstyle=vlines, hatchangle=0, hatchsep=1.5pt](0.8,0)(0,0)(0.8,0.8)


\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1.2,0)\uput[0](1.2,0){$x$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1.2)\uput[90](0,1.2){$y$}
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.5pt](0.2,0.2)(1,0.2)
\psline[linewidth=1.5pt](0.2,0)(1,0.8)
\psline[linewidth=1.5pt](0.8,0)(0.8,0.8)


\uput[-90](0.1,0){$d$}
\uput[-90](0.9,0){$d$}
\uput[0](1,0.1){$d$}
\uput[0](1,0.9){$d$}

\end{pspicture}

Az ezzel szimmetrikus $x<y$ esetet is figyelembe v\'{e}ve a keresett val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}g $d$ f\"{u}ggv\'{e}ny\'{e}ben:
$$F(d)=\left\{\begin{array}{lcl}
1,& \mbox{ ha }& d\leq 0\\
(1-3d)^2,& \mbox{ ha }&0\leq d\leq \frac{1}{3}\\
0,& \mbox{ ha }&\frac{1}{3}<d
\end{array}
\right.
$$


\medskip

\textbf{egyelosszel}

Az $x$, $y$, $z$ sz\'{a}mokat egym\'{a}st\'{o}l f\"{u}ggetlen\"{u}l egyenletes eloszl\'{a}ssal v\'{a}lasztjuk a $[0;1]$ intervallumon. Hat\'{a}rozzuk meg az al\'{a}bbi val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}gi v\'{a}ltoz\'{o}k eloszl\'{a}sf\"{u}ggv\'{e}ny\'{e}t \'{e}s s\H{u}r\H{u}s\'{e}gf\"{u}ggv\'{e}ny\'{e}t!

\textbf{a)} $|x-y|$,\qquad \textbf{b)} $\frac{x+y}{2}$,\qquad \textbf{c)} $\frac{x+y+z}{3}$,

\textbf{d)} $xy$,\qquad \textbf{e)} $\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}$.

\medskip

\textbf{Eredm\'{e}nyek}

\textbf{a)} Ennek a val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}gi v\'{a}ltoz\'{o}nak a soltivalfolyt40 b) feladatban hat\'{a}roztuk meg az eloszl\'{a}sf\"{u}ggv\'{e}ny\'{e}t:

$$F_a(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
0,& \mbox{ ha }& d\leq\frac{1}{3}\\
(3x-1)^2,& \mbox{ ha }&\frac{1}{3}<x\leq\frac{1}{2}\\
1-3(1-x)^2,& \mbox{ ha }&\frac{1}{2}<x\leq 1\\
1,& \mbox{ ha }&1<x
\end{array}
\right.
$$

A s\H{u}r\H{u}s\'{e}gf\"{u}ggv\'{e}ny az eloszl\'{a}sf\"{u}ggv\'{e}ny deriv\'{a}ltja:

$$\rho_a(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
0,& \mbox{ ha }& d\leq\frac{1}{3}\\
6(3x-1),& \mbox{ ha }&\frac{1}{3}<x\leq\frac{1}{2}\\
6(1-x),& \mbox{ ha }&\frac{1}{2}<x\leq 1\\
0,& \mbox{ ha }&1<x
\end{array}
\right.
$$


\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.3)(1.5,3.5)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-0.3,0)(1.3,0)\uput[0](1.3,0){$x$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-0.2)(0,3.2)\uput[90](0,3.2){$y$}
\psplot[linewidth=2pt, linecolor=red]{0.3334}{0.5}{x 18 mul 6 sub}\psplot[linewidth=2pt, linecolor=red]{0.5}{1}{6 1 x sub  mul}
\psplot[linewidth=2pt, linecolor=blue]{0.3334}{0.5}{1 3 x mul  sub dup mul}
\psplot[linewidth=2pt, linecolor=blue]{0.5}{1}{1 3 1 x sub dup mul mul sub}
\psline[linewidth=2pt, linecolor=red](0,0.01)(0.3334,0.01)
\psline[linewidth=2pt, linecolor=blue](-0.2,0)(0.3334,0)
\psline[linewidth=2pt, linecolor=blue](1,1)(1.2,1)
\uput[45](0.75,1.5){$\rho_a$}\uput[0](1.2,1){$F_a(x)$}
\uput[-135](0,0){$0$}
\def \pocp{0.07}
\def \pocm{-0.07}
\def \pocokx{\psline(0,\pocp)(0,\pocm)}
\def \pocoky{\psline(\pocp,0)(\pocm,0)}
\rput(0.1667,0){\pocokx \uput[-90](0,\pocm){$\frac{1}{6}$}}
\rput(0.3333,0){\pocokx \uput[-90](0,\pocm){$\frac{1}{3}$}}
\rput(0.5,0){\pocokx \uput[-90](0,\pocm){$\frac{1}{2}$}}
\rput(0.6667,0){\pocokx \uput[-90](0,\pocm){$\frac{2}{3}$}}
\rput(0.8333,0){\pocokx \uput[-90](0,\pocm){$\frac{5}{6}$}}
\rput(1,0){\pocokx \uput[-90](0,\pocm){$1$}}
\rput(0,1){\pocoky \uput[180](\pocm,0){$1$}}
\rput(0,2){\pocoky \uput[180](\pocm,0){$2$}}
\rput(0,3){\pocoky \uput[180](\pocm,0){$3$}}
\end{pspicture}


\textbf{b)} Az $x+y=2d$ \"{o}sszef\"{u}gg\'{e}s a koordin\'{a}tarendszer egy egyenes\'{e}n, az $x+y\leq 2d$ rel\'{a}ci\'{o} $0\leq d$ eset\'{e}n egy orig\'{o}t tartalmaz\'{o} z\'{a}rt f\'{e}ls\'{i}kon teljes\"{u}l. A $P(x;y)$ pont az $(0;0)$, $(1;0)$, $(1;1)$, $(0;1)$ cs\'{u}csok \'{a}ltal kifesz\'{i}tett egys\'{e}gn\'{e}gyzet egy pontja, a fent eml\'{i}tett f\'{e}ls\'{i}knak ezzel az egys\'{e}gn\'{e}gyzettel val\'{o} k\"{o}z\"{o}s r\'{e}sz\'{e}nek ter\"{u}let\'{e}t kell meghat\'{a}roznunk. M\'{i}g $d\leq\frac{1}{2}$ eset\'{e}n ez a k\"{o}z\"{o}s r\'{e}sz egy $2d$ befog\'{o}j\'{u} egyenl\H{o} sz\'{a}r\'{u} der\'{e}ksz\"{o}g\H{u} h\'{a}romsz\"{o}g, addig $d\geq\frac{1}{2}$ eset\'{e}n az egys\'{e}gn\'{e}gyzetre vonatkoz\'{o} komplementer lesz $2(1-d)$ befog\'{o}j\'{u} egyenl\H{o} sz\'{a}r\'{u} der\'{e}ksz\"{o}g\H{u} h\'{a}romsz\"{o}g (l\'{a}sd az \'{a}br\'{a}t). Ebb\H{o}l az eloszl\'{a}sf\"{u}ggv\'{e}ny \'{e}s a s\H{u}r\H{u}s\'{e}gf\"{u}ggv\'{e}ny is gyorsan ad\'{o}dik.

\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(3,1.5)
\rput(0,0){\rput(0.5,1.2){$d\leq\frac{1}{2}$}
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=gray](0.3,0)(0,0.3)(0,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1.2,0)\uput[0](1.2,0){$x$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1.2)\uput[90](0,1.2){$y$}
\psline[linewidth=1.5pt](0.3,0)(0,0.3)
\uput[-90](0.15,0){$2d$}\uput[180](0,0.15){$2d$}
}
\rput(1.5,0){\rput(0.5,1.2){$\frac{1}{2}\leq d$}
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=gray](0.7,1)(1,0.7)(1,0)(0,0)(0,1)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1.2,0)\uput[0](1.2,0){$x$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1.2)\uput[90](0,1.2){$y$}
\psline[linewidth=1.5pt](0.7,1)(1,0.7)
\uput[0](1,0.35){$2d-1$}\uput[0](1,0.85){$2(1-d)$}
}

\end{pspicture}


$$F_b(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
0,&\mbox{ ha }& x<0\\
2x^2,&\mbox{ ha }& 0\leq x\leq \frac{1}{2}\\
1-2(1-x)^2,&\mbox{ ha }&\frac{1}{2}\leq x\leq 1\\
1,&\mbox{ ha }& 1<x
\end{array}\right.
$$

A s\H{u}r\H{u}s\'{e}gf\"{u}ggv\'{e}ny az eloszl\'{a}sf\"{u}ggv\'{e}ny deriv\'{a}ltja:

$$\rho_b(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
0,&\mbox{ ha }& x<0\\
4x,&\mbox{ ha }& 0\leq x\leq \frac{1}{2}\\
4(1-x),&\mbox{ ha }&\frac{1}{2}\leq x\leq 1\\
1,&\mbox{ ha }& 1<x
\end{array}\right.
$$


\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.3)(3.7,2.5)
\rput(0,0){
\psline[linewidth=2pt]{->}(-0.3,0)(1.3,0)\uput[0](1.3,0){$x$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-0.2)(0,2.2)\uput[90](0,2.2){$y$}
\psplot[linewidth=2pt, linecolor=red]{0}{0.5}{x 4 mul}\psplot[linewidth=2pt, linecolor=red]{0.5}{1}{4 1 x sub  mul}
\psplot[linewidth=2pt, linecolor=blue]{0}{0.5}{2 x dup mul mul}
\psplot[linewidth=2pt, linecolor=blue]{0.5}{1}{1 2 1 x sub dup mul mul sub}
\psline[linewidth=2pt, linecolor=blue](-0.2,0)(0,0)
\psline[linewidth=2pt, linecolor=blue](1,1)(1.2,1)
\uput[45](0.6,1.6){$\rho_b$}\uput[0](1.2,1){$F_b(x)$}
\uput[-135](0,0){$0$}
\def \pocp{0.07}
\def \pocm{-0.07}
\def \pocokx{\psline(0,\pocp)(0,\pocm)}
\def \pocoky{\psline(\pocp,0)(\pocm,0)}
\rput(0.1667,0){\pocokx \uput[-90](0,\pocm){$\frac{1}{6}$}}
\rput(0.3333,0){\pocokx \uput[-90](0,\pocm){$\frac{1}{3}$}}
\rput(0.5,0){\pocokx \uput[-90](0,\pocm){$\frac{1}{2}$}}
\rput(0.6667,0){\pocokx \uput[-90](0,\pocm){$\frac{2}{3}$}}
\rput(0.8333,0){\pocokx \uput[-90](0,\pocm){$\frac{5}{6}$}}
\rput(1,0){\pocokx \uput[-90](0,\pocm){$1$}}
\rput(0,0.5){\pocoky \uput[180](\pocm,0){$\frac{1}{2}$}}
\rput(0,1){\pocoky \uput[180](\pocm,0){$1$}}
\rput(0,1.5){\pocoky \uput[180](\pocm,0){$\frac{3}{2}$}}
\rput(0,2){\pocoky \uput[180](\pocm,0){$2$}}
}
\rput(2.2,0){
\psline[linewidth=2pt]{->}(-0.3,0)(1.3,0)\uput[0](1.3,0){$x$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-0.2)(0,2.2)\uput[90](0,2.2){$y$}
\psplot[linewidth=2pt, linecolor=blue]{0}{0.3333}{3 x mul dup dup mul mul 6 div}\psplot[linewidth=2pt, linecolor=blue]{0.3333}{0.6667}{3 x mul dup dup mul mul 3 3 x mul 1 sub dup dup mul mul mul sub 6 div}
\psplot[linewidth=2pt, linecolor=blue]{0.6667}{1}{1 3 1 x sub mul dup dup mul mul 6 div sub}

\psplot[linewidth=2pt, linecolor=red]{0}{0.3333}{3 3 x mul dup mul mul 2 div}\psplot[linewidth=2pt, linecolor=red]{0.3333}{0.6667}{3 3 x mul dup mul mul 9 3 x mul 1 sub dup mul mul sub 2 div}
\psplot[linewidth=2pt, linecolor=red]{0.6667}{1}{3 3 1 x sub mul dup mul mul 2 div}

\psline[linewidth=2pt, linecolor=blue](-0.2,0)(0,0)
\psline[linewidth=2pt, linecolor=blue](1,1)(1.2,1)
\uput[45](0.6,1.98){$\rho_c$}\uput[0](1.2,1){$F_c(x)$}
\uput[-135](0,0){$0$}
\def \pocp{0.07}
\def \pocm{-0.07}
\def \pocokx{\psline(0,\pocp)(0,\pocm)}
\def \pocoky{\psline(\pocp,0)(\pocm,0)}
\rput(0.1667,0){\pocokx \uput[-90](0,\pocm){$\frac{1}{6}$}}
\rput(0.3333,0){\pocokx \uput[-90](0,\pocm){$\frac{1}{3}$}}
\rput(0.5,0){\pocokx \uput[-90](0,\pocm){$\frac{1}{2}$}}
\rput(0.6667,0){\pocokx \uput[-90](0,\pocm){$\frac{2}{3}$}}
\rput(0.8333,0){\pocokx \uput[-90](0,\pocm){$\frac{5}{6}$}}
\rput(1,0){\pocokx \uput[-90](0,\pocm){$1$}}
\rput(0,0.5){\pocoky \uput[180](\pocm,0){$\frac{1}{2}$}}
\rput(0,1){\pocoky \uput[180](\pocm,0){$1$}}
\rput(0,1.5){\pocoky \uput[180](\pocm,0){$\frac{3}{2}$}}
\rput(0,2){\pocoky \uput[180](\pocm,0){$2$}}
}
\end{pspicture}

\textbf{c)}
Az $(x;y;z)$ v\'{e}letlen sz\'{a}mh\'{a}rmasnak most a t\'{e}rbeli Descartes koordin\'{a}tarendszer pozit\'{i}v t\'{e}rnyolcad\'{a}ban elhelyezked\H{o} $[0;1]\times [0;1]\times [0;1]$ egys\'{e}gkocka egy v\'{e}letlen $P(x;y;z)$ pontj\'{a}t feleltethetj\"{u}k meg. A $\frac{x+y+z}{3}\leq d$ felt\'{e}telnek megfelel\H{o} pontok az $x+y+z=3d$ s\'{i}k \'{a}ltal hat\'{a}rolt, az orig\'{o}t is tartalmaz\'{o} f\'{e}lt\'{e}rnek a kocka fel\"{u}let\'{e}re \'{e}s belsej\'{e}be es\H{o} pontjai felelnek meg. 

$d\leq\frac{1}{3}$ eset\'{e}n ez a t\'{e}rr\'{e}sz egy olyan tetra\'{e}der, amelynek egyik cs\'{u}csa az orig\'{o} \'{e}s az itt \"{o}sszefut\'{o} h\'{a}rom \'{e}l egym\'{a}sra p\'{a}ronk\'{e}nt mer\H{o}leges \'{e}s mindegyik \'{e}pp $3d$ hossz\'{u}. E tetra\'{e}der t\'{e}rfogata az egys\'{e}gkocka t\'{e}rfogat\'{a}nak $\frac{(3d)^3}{6}$-szerese.

Hasonl\'{o}an egyszer\H{u} a $\frac{2}{3}\leq d$ eset, ugyanis ekkor a vizsg\'{a}lt t\'{e}rr\'{e}sz egys\'{e}gkockabeli komplementere olyan tetra\'{e}der, amelynek egym\'{a}sra p\'{a}ronk\'{e}nt mer\H{o}leges, az  $(1;1;1)$ cs\'{u}csban \"{o}sszefut\'{o} \'{e}lei mind $3(1-d)$ hossz\'{u}s\'{a}g\'{u}ak, \'{i}gy a vizsg\'{a}lt t\'{e}rr\'{e}sz az egys\'{e}gkocka t\'{e}rfogat\'{a}nak $\left(1-\frac{(3-3d)^3}{6}\right)$-szerese.

\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(7.5,7)
\pspolygon[fillcolor=gray,fillstyle=solid](4.93,0.77)(4,1.48)(1.48,4)(0.93,4.77)(2.51,3.55)(4,2.07)
%\psline{->}(4,0)(6.51,2.07)
\psline(0,0)(4,0)
\psline(4,0)(4,4)
\psline(4,4)(0,4)
\psline(0,4)(0,0)
\psline(6.51,2.07)(6.51,6.07)
\psline(6.51,6.07)(4,4)
\psline(6.51,6.07)(2.51,6.07)
\psline(2.51,6.07)(0,4)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](2.51,6.07)(2.51,2.07)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](2.51,2.07)(6.51,2.07)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](2.51,2.07)(0,0)
\psline(0,4)(4,0)
\psline(2.51,2.07)(4,0)
\psline(0,4)(2.51,2.07)
\psline(4.93,0.77)(4,1.48)
\psline(4,1.48)(1.48,4)
\psline(1.48,4)(0.93,4.77)
\psline(0.93,4.77)(2.51,3.55)
\psline(2.51,3.55)(4,2.07)
\psline(4,2.07)(4.93,0.77)
\psline(4,0)(6.51,2.07)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dotted](2.17,2.02)(2.98,2.77)
\psline[linestyle=dashed, dash=3pt 2pt](0,0)(2.17,2.02)
\psline[linestyle=dashed, dash=3pt 2pt](2.98,2.77)(6.51,6.07)

\psdots[dotstyle=*](0,0)\uput[-135](0,0){$A$}
\psdots[dotstyle=*](4,0)\uput[-45](4,0){$B$}
\psdots[dotstyle=*](0,4)\uput[135](0,4){$E$}
\psdots[dotstyle=*](4,4)\uput[110](4,4){$F$}
\psdots[dotstyle=*](6.51,2.07)\uput[20](6.51,2.07){$C$}
\psdots[dotstyle=*](6.51,6.07)\uput[20](6.51,6.07){$G$}
\psdots[dotstyle=*](2.51,6.07)\uput[135](2.51,6.07){$H$}
\psdots[dotstyle=*](2.51,2.07)\uput[45](2.51,2.07){$D$}
\psdots[dotstyle=*](4.93,0.77)\uput[0](4.93,0.77){$I$}
\psdots[dotstyle=*](4,1.48)\uput[-135](4,1.48){$J$}
\psdots[dotstyle=*](1.48,4)\uput[-135](1.48,4){$K$}
\psdots[dotstyle=*](0.93,4.77)\uput[90](0.93,4.77){$L$}
\psdots[dotstyle=*](2.51,3.55)\uput[45](2.51,3.55){$M$}
\psdots[dotstyle=*](4,2.07)\uput[45](4,2.07){$N$}
\psdots[dotstyle=o](2.98,2.77)
\psdots[dotstyle=o](2.17,2.02)
\uput[0](4.47,0.38){$3d-1$}
\end{pspicture}


\'{A}tt\'{e}r\"{u}nk az el\H{o}bbiekn\'{e}l nehezebb $\frac{1}{3}\leq d\leq\frac{2}{3}$ esetre. Ekkor az $x+y+z=3d$ egyenlet\H{u} $\Sigma$ s\'{i}k az egys\'{e}gkocka hat \'{e}l\'{e}t is metszi. Ha a kocka cs\'{u}csai
$$A(0;0;0),\quad B(1;0;0),\quad C(1;1;0),\quad D(0;1;0),$$
$$E(0;0;1),\quad F(1;0;1),\quad G(1;1;1),\quad H(0;1;1),$$
akkor az $AG$ \'{a}tl\'{o}ra mer\H{o}leges $\Sigma$ \'{e}s a 
$$BC,\quad BF, \quad EF, \quad EH, \quad HD, \quad DC$$
\'{e}lek metsz\'{e}spontjait jel\"{o}lje rendre $$I,\quad J,\quad K,\quad L,\quad M,\quad N.$$


\psset{unit=1.0cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(7.5,7)
\pspolygon[fillcolor=gray,fillstyle=solid](4.93,0.77)(4,1.48)(1.48,4)(0.93,4.77)(2.51,3.55)(4,2.07)
%\psline{->}(4,0)(6.51,2.07)
\psline(0,0)(4,0)
\psline(4,0)(4,4)
\psline(4,4)(0,4)
\psline(0,4)(0,0)
\psline(6.51,2.07)(6.51,6.07)
\psline(6.51,6.07)(4,4)
\psline(6.51,6.07)(2.51,6.07)
\psline(2.51,6.07)(0,4)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](2.51,6.07)(2.51,2.07)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](2.51,2.07)(6.51,2.07)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](2.51,2.07)(0,0)
\psline(0,4)(4,0)
\psline(2.51,2.07)(4,0)
\psline(0,4)(2.51,2.07)
\psline(4.93,0.77)(4,1.48)
\psline(4,1.48)(1.48,4)
\psline(1.48,4)(0.93,4.77)
\psline(0.93,4.77)(2.51,3.55)
\psline(2.51,3.55)(4,2.07)
\psline(4,2.07)(4.93,0.77)
\psline(4,0)(6.51,2.07)
%\psline[linewidth=1pt,linestyle=dotted](2.17,2.02)(2.98,2.77)
%\psline[linestyle=dashed, dash=3pt 2pt](0,0)(2.17,2.02)
%\psline[linestyle=dashed, dash=3pt 2pt](2.98,2.77)(6.51,6.07)

\psline(4.93,0.77)(5.48,0)
\psline(5.48,0)(4,1.48)
\psline(0,5.48)(1.48,4)
\psline(0,5.48)(0.93,4.77)
\psline(0,5.48)(0,4)
\psline(5.48,0)(4,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](2.51,3.55)(3.44,2.83)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](4,2.07)(3.44,2.83)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](3.44,2.83)(2.51,2.07)

\psdots[dotstyle=*](0,0)\uput[-135](0,0){$A$}
\psdots[dotstyle=*](4,0)\uput[-100](4,0){$B$}
\psdots[dotstyle=*](0,4)\uput[135](0,4){$E$}
\psdots[dotstyle=*](4,4)\uput[110](4,4){$F$}
\psdots[dotstyle=*](6.51,2.07)\uput[20](6.51,2.07){$C$}
\psdots[dotstyle=*](6.51,6.07)\uput[20](6.51,6.07){$G$}
\psdots[dotstyle=*](2.51,6.07)\uput[135](2.51,6.07){$H$}
\psdots[dotstyle=*](2.51,2.07)\uput[115](2.51,2.07){$D$}
\psdots[dotstyle=*](4.93,0.77)\uput[0](4.93,0.77){$I$}
\psdots[dotstyle=*](4,1.48)\uput[-135](4,1.48){$J$}
\psdots[dotstyle=*](1.48,4)\uput[-135](1.48,4){$K$}
\psdots[dotstyle=*](0.93,4.77)\uput[90](0.93,4.77){$L$}
\psdots[dotstyle=*](2.51,3.55)\uput[45](2.51,3.55){$M$}
\psdots[dotstyle=*](4,2.07)\uput[45](4,2.07){$N$}
%\psdots[dotstyle=o](2.98,2.77)\psdots[dotstyle=o](2.17,2.02)
\psdots[dotstyle=*](5.48,0)\uput[-45](5.48,0){$U$}
\psdots[dotstyle=*](0,5.48)\uput[45](0,5.48){$W$}
\psdots[dotstyle=*](3.44,2.83)\uput[45](3.44,2.83){$V$}

\uput[-90](4.74,0){$3d-1$}
\end{pspicture}

A $\Sigma$ s\'{i}k a pozit\'{i}v s\'{i}knegyedb\H{o}l az $UVWA$ tetra\'{e}dert metszi ki, melynek $A$-ben \"{o}sszefut\'{o} \'{e}lei egym\'{a}sra p\'{a}ronk\'{e}nt mer\H{o}legesek \'{e}s $3d$ hossz\'{u}s\'{a}g\'{u}ak. Ennek a tetra\'{e}dernek az egys\'{e}gkock\'{a}n k\'{i}v\"{u}l es\H{o} r\'{e}sze h\'{a}rom egybev\'{a}g\'{o} \'{e}s az el\H{o}z\H{o}h\"{o}z hasonl\'{o} tetra\'{e}derb\H{o}l \'{a}ll. Ezek az 
$$IJBU,\qquad LKEW,\qquad MNDV$$
tetra\'{e}derek melyeknek az $U$, $W$, $V$ cs\'{u}csban \"{o}sszefut\'{o} egym\'{a}sra p\'{a}ronk\'{e}nt mer\H{o}leges \'{e}leinek hossza $(3d-1)$. \'{I}gy a vizsg\'{a}lt t\'{e}rr\'{e}sz t\'{e}rfogata 
$$\frac{(3d)^3-3(3d-1)^3}{6}.$$    


$$F_c(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
0,&\mbox{ ha }& x<0\\
\frac{(3x)^3}{6},&\mbox{ ha }& 0\leq x\leq \frac{1}{3}\\
\frac{(3x)^3-3(3x-1)^3}{6},&\mbox{ ha }& \frac{1}{3}\leq x\leq \frac{2}{3}\\%-9\left(x-\frac{1}{2}\right)^3+\frac{9}{4}\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}
1-\frac{(3-3x)^3}{6},&\mbox{ ha }& \frac{2}{3}\leq x\leq 1\\
1,&\mbox{ ha }& 1<x
\end{array}\right.
$$


$$\rho_c(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
0,&\mbox{ ha }& x<0\\
\frac{3(3x)^2}{2},&\mbox{ ha }& 0\leq x\leq \frac{1}{3}\\
\frac{3(3x)^2-9(3x-1)^2}{2},&\mbox{ ha }& \frac{1}{3}\leq x\leq \frac{2}{3}\\
\frac{3(3-3x)^2}{2},&\mbox{ ha }& \frac{2}{3}\leq x\leq 1\\
1,&\mbox{ ha }& 1<x
\end{array}\right.
$$


\medskip

\textbf{egyelosszelvarh} Hat\'{a}rozzuk meg az 
egyelosszel feladatban l\'{a}tott eloszl\'{a}sok v\'{a}rhat\'{o} \'{e}rt\'{e}k\'{e}t!


\medskip

\medskip

\textbf{soltivalfolyt20felt}
 
Egy p\'{a}lc\'{a}t v\'{e}letlenszer\H{u}en elt\"{o}r\"{u}nk, rajta a t\"{o}r\'{e}spontot egyenleets eloszl\'{a}ssal v\'{a}lasztjuk ki. Ezut\'{a}n a nagyobb darabon megint v\'{e}letlenszer\'{u}\H{u}en, egyenletes eloszl\'{a}ssal v\'{a}lasztunk egy pontot, amelyn\'{e}l elt\"{o}rj\"{u}k a p\'{a}lc\'{a}t. Mekkora a val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}ge annak, hogy a t\"{o}r\'{e}sekkel kapott h\'{a}rom szakaszb\'{o}l h\'{a}romsz\"{o}g szerkeszthet\H{o}?


\medskip

\textbf{Megold\'{a}s}

Azonos\'{i}tsuk a p\'{a}lc\'{a}t a $[0;1]$ intervallummal, az els\H{o} t\"{o}r\'{e}spontot az $x$, a m\'{a}sodik t\"{o}r\'{e}spontot az $y$ sz\'{a}mmal.
M\'{i}g $x$ a $[0;1]$ intervallumon egyenletes eloszl\'{a}s\'{u} val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}gi v\'{a}ltoz\'{o}, addig $\frac{1}{2}< x$ eset\'{e}n $y$ a $[0;x]$ intervallumon, m\'{i}g $x<\frac{1}{2}$ eset\'{e}n az $[x;1]$ intervallumon egyenletes eloszl\'{a}s\'{u} val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}gi v\'{a}ltoz\'{o}. A k\'{e}t eset szimmetrikus, al\'{a}bb az $\frac{1}{2}< x$ esetet elemezz\"{u}k.

Legyen ekkor $y=tx$, ahol teh\'{a}t $t$ a $[0;1]$ intervallumon egyenletes val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}gi v\'{a}ltoz\'{o}. A $P(x;t)$ pont most a
$[\frac{1}{2};1]\times [0;1]$ t\'{e}glalapban egyenletes eloszl\'{a}ssal v\'{a}lasztott pont.

A h\'{a}rom l\'{e}trej\"{o}tt darab hossza: 
$$y=tx,\qquad (x-y)=x(1-t),\qquad (1-x).$$
A h\'{a}romsz\"{o}g szerkeszthet\H{o}s\'{e}g\'{e}nek felt\'{e}telei:

$$(i)\quad tx+x(1-t)>1-x,$$ $$(ii)\quad x(1-t)+(1-x)>tx,(iii)\quad (1-x)+tx>x(1-t).$$

Az $(i)$ felt\'{e}tel az $\frac{1}{2}<x$ esetben automatikusan teljes\"{u}l. A $(ii)-(iii)$ felt\'{e}telek a
$$1-\frac{1}{2x}<t<\frac{1}{2x}$$
rel\'{a}ci\'{o}ban foglalhat\'{o}k \"{o}ssze. Ez azt jelenti, hogy akkor szerkeszthet\H{o} h\'{a}romsz\"{o}g, ha a $P$ pont az \'{a}br\'{a}n l\'{a}that\'{o} hiperbola\'{i}vek k\"{o}z\'{e} esik.

\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(0,-0.3)(1.7,1.5)
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray](0.5,0)(1,0)(1,1)(0.5,1)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0.3,0)(1.3,0)\uput[0](1.3,0){$x$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0.5,-0.2)(0.5,1.2)\uput[90](0.5,1.2){$y$}
\psplot[linewidth=2pt]{0.5}{1}{1 2 x mul div}
\psplot[linewidth=2pt]{0.5}{1}{1 1 2 x mul div sub}
\uput[-135](0.5,0){$\frac{1}{2}$}
\uput[135](0.5,0){$0$}
\def \pocp{0.07}
\def \pocm{-0.07}
\def \pocokx{\psline(0,\pocp)(0,\pocm)}
\def \pocoky{\psline(\pocp,0)(\pocm,0)}
\rput(0.75,0){\pocokx \uput[-90](0,\pocm){$\frac{3}{4}$}}
\rput(1,0){\pocokx \uput[-90](0,\pocm){$1$}}
\rput(0.5,0.3333){\pocoky \uput[180](\pocm,0){$\frac{1}{3}$}}
\rput(0.5,0.6667){\pocoky \uput[180](\pocm,0){$\frac{2}{3}$}}
\rput(0.5,1){\pocoky \uput[180](\pocm,0){$1$}}
\psline[linestyle=dotted](0.5,0.3333)(1,0.3333)
\psline[linestyle=dotted](0.5,0.6667)(1,0.6667)
\psline[linestyle=dotted](0.75,0)(0.75,1)
\end{pspicture}

Az als\'{o} hiperbola\'{i}v alatti (rossz) ter\"{u}let:
$$\int_{\frac{1}{2}}^1 1-\frac{1}{2x}dx=\left[x-\frac{\ln (2x)}{2}\right]_{\frac{1}{2}}^2=\frac{1-\ln 2}{2}.$$

Az \'{a}bra szimmetri\'{a}j\'{a}t, tov\'{a}bb\'{a} az $x<\frac{1}{2}$ esetet is figyelembe v\'{e}ve a keresett val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}g
$$1-4\frac{1-\ln 2}{2}=2\ln 2 - 1$$
-nek ad\'{o}dik.

\medskip

\textbf{OKTV1996ford2katSPfel3}

H\'{a}rom haj\'{o}t\"{o}r\"{o}tt mindegyike egy-egy \'{o}r\'{a}t t\"{o}lt (egyhuzamban) egy szigeten ma d\'{e}lut\'{a}n valamikor 5 és 9 \'{o}ra k\"{o}z\"{o}tt (v\'{e}letlenszer\H{u}en). Ha h\'{a}rmuk k\"{o}z\"{u}pontosan kett\H{o} f\'{e}l \'{o}r\'{a}n\'{a}l hosszabb ideig egyszerre tart\'{o}ott, akkor visz\'{a}ly t\"{o}r ki. Mekkora a val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}ge annak, hogy b\'{e}k\'{e}ben telik el a mai nap?

\medskip

\textbf{Eredm\'{e}ny:} $\frac{47}{108}$


\textbf{egyelosszeloszn01}

$\chi_1$, $\chi_2$, $\chi_3$, ...  a $[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}]$ egyenletes, egym\'{a}st\'{o}l f\"{u}ggetlen val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}gi v\'{a}ltoz\'{o}k.
Legyen $\Sigma_n=\sum_{k=1}^n\chi_k$. Hat\'{a}rozzuk meg $\Sigma_n$ 

\textbf{a)} eloszl\'{a}s\'{a}t, \qquad \textbf{b)} s\H{u}r\H{u}s\'{e}gf\"{u}ggv\'{e}ny\'{e}t, 

\textbf{c)} v\'{a}rhat\'{o} \'{e}rt\'{e}k\'{e}t \qquad \textbf{d)} 
\'{e}s sz\'{o}r\'{a}s\'{a}t!

\medskip

\textbf{Megold\'{a}s}

\textbf{a)} Jel\"{o}lje $\Sigma_n$ eloszl\'{a}sf\"{u}ggv\'{e}ny\'{e}t $F_n$, s\H{u}r\H{u}s\'{e}gf\"{u}ggv\'{e}ny\'{e}t $\rho_n$. Tudjuk, hogy 

$$F_1(x)=\left\{
\begin{array}{lcl}
0,&\mbox{ ha }&x<-\frac{1}{2}\\
x+\frac{1}{2},&\mbox{ ha }&-\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{1}{2}\\
1,&\mbox{ ha }&\frac{1}{2}<x
\end{array}
\right.$$
$$
\rho_1(x)=\left\{
\begin{array}{lcl}
0,&\mbox{ ha }&x<-\frac{1}{2}\\
1,&\mbox{ ha }&-\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{1}{2}\\
0,&\mbox{ ha }&\frac{1}{2}<x
\end{array}
\right.
.
$$
Al\'{a}bb rekurzi\'{o}t \'{a}ll\'{i}tunk fel az $F_n$ f\"{u}ggv\'{e}nysorozatra.
Az $F_{n+1}(y)=p(x_1+\ldots +x_n+x_{n+1}\leq x)$ val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}get az $x_{n+1}\in [0;1]$ v\'{a}ltoz\'{o} \'{e}rt\'{e}kei szerint a teljes val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}g elve seg\'{i}ts\'{e}g\'{e}vel becs\"{u}lj\"{u}k. 
Ha az $x_{n+1}$ v\'{a}ltoz\'{o} csak a diszkr\'{e}t $a_0$, $a_1$, \ldots , $a_{N-1}$, $a_N$ \'{e}rt\'{e}keket vehetn\'{e} fel, akkor 
az 
$$x_{n+1}=a_0,\quad x_{n+1}=a_1,\quad , \ldots \quad x_{n+1}=a_{N-1},\quad x_{n+1}=a_N$$
esem\'{e}nyek teljes esem\'{e}nyrendszert alkotn\'{a}nak \'{e}s \'{i}gy teljes\"{u}lne az 
$$p(\sum_{k=1}^{n+1}x_k\leq y)=\sum_{m=0}^{N}p(x_{n+1}=a_m)p(\sum_{k=1}^{n}x_k\leq y-a_m)$$
\"{o}sszef\"{u}gg\'{e}s.

A folytonos esetben a $[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}]$ intervallum egy tetsz\H{o}leges $$-\frac{1}{2}=a_0<a_1<a_2<\ldots<a_{N-1}<a_N=\frac{1}{2}$$
feloszt\'{a}s\'{a}ra
$$a_0\leq x_{n+1}<a_1,\quad a_1\leq x_{n+1}<a_2,\quad , \ldots $$
$$\ldots
\quad a_{N-2}\leq x_{n+1}<a_{N-1},\quad a_{N-1}\leq x_{n+1}<a_N$$
a teljes esem\'{e}nyrendszer. Ezen esem\'{e}nyek val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}ge rendre
$$(a_1-a_0),\qquad (a_2-a_1),\qquad \ldots $$
$$\ldots \qquad (a_{N-1}-a_{N-2}),\qquad (a_N-a_{N-1}).$$
A teljes val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}g t\'{e}tel\'{e}t most csak als\'{o} \'{e}s fels\H{o} k\"{o}zel\'{i}t\'{e}s form\'{a}j\'{a}ban \'{i}rjuk fel:
$$\sum_{m=0}^{N-1}p(a_m\leq x_{n+1}<a_{m+1})p(\sum_{k=1}^{N}x_k\leq y-a_{m+1})\leq$$
$$\leq p(\sum_{k=1}^{n+1}x_k\leq y)\leq \sum_{m=0}^{N-1}p(a_m\leq x_{n+1}<a_{m+1})p(\sum_{k=1}^{N}x_k\leq y-a_m).$$ Ugyanez m\'{a}sk\'{e}pp:
$$\sum_{m=0}^{N-1}F_n(y-a_{m+1})(a_{m+1}-a_m)\leq F_{n+1}(y)\leq \sum_{m=0}^{N-1}F_n(y-a_{m})(a_{m+1}-a_m).$$
A fenti rel\'{a}ci\'{o} bal \'{e}s jobb oldal\'{a}n tal\'{a}lhat\'{o} kifejez\'{e}s az 
$$\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} F_n(y-x)dx$$
integr\'{a}l egy-egy k\"{o}zel\'{i}t\H{o} \"{o}sszege. K\"{o}nnyen igazolhat\'{o} rekurz\'{i}van, hogy $F_n$ folytonos, \'{i}gy integr\'{a}lhat\'{o}, teh\'{a}t $F_n(y-x)$ is integr\'{a}lhat\'{o} b\'{a}rmely r\"{o}gz\'{i}tett $y$-ra. Ebb\H{o}l teh\'{a}t 
$$F_{n+1}(y)=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} F_n(y-x)dx,$$
azaz
\begin{equation}\label{eq:osszegeloszlasa2014jan21ha10}
F_{n+1}(y)=\int_{y-\frac{1}{2}}^{y+\frac{1}{2}} F_n(x)dx.
\end{equation}

P\'{e}ld\'{a}ul

$$F_2(y)=\left\{\begin{array}{lcl}
0,&\mbox{ ha }&y<-1\\
\int_{-\frac{1}{2}}^{y+\frac{1}{2}}x+\frac{1}{2}dx,&\mbox{ ha }&-1\leq y\leq 0\\
\int_{y-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}x+\frac{1}{2}dx+\int_{\frac{1}{2}}^{y+\frac{1}{2}}1dx,&\mbox{ ha }&0\leq y\leq 1\\
1,&\mbox{ ha }&1<y
\end{array}
\right.
$$
azaz 
$$
F_2(y)=\left\{\begin{array}{lcl}
0,&\mbox{ ha }&y<-1\\
\frac{(y+1)^2}{2},&\mbox{ ha }&-1\leq y\leq 0\\
1-\frac{(y-1)^2}{2},&\mbox{ ha }&0\leq y\leq 1\\
1,&\mbox{ ha }&1<y
\end{array}
\right.
$$

A (\ref{eq:osszegeloszlasa2014jan21ha10}) \"{o}sszef\"{u}gg\'{e}s deriv\'{a}ltjak\'{e}nt ad\'{o}dik a s\H{u}r\H{u}s\'{e}gf\"{u}ggv\'{e}nyek rekurzi\'{o}ja:
\begin{equation}\label{eq:osszegsrsfve2014jan21ha10}
\rho_{n+1}(y)=\int_{y-\frac{1}{2}}^{y+\frac{1}{2}} \rho_n(x)dx.
\end{equation}
A $\rho_n$ s\H{u}r\H{u}s\'{e}gf\"{u}ggv\'{e}ny az $$I_n=\left[-\frac{n}{2};\frac{n}{2}\right]$$ intervallumon k\'{i}v\"{u}l z\'{e}rus, azon bel\"{u}l viszont szakaszonk\'{e}nt -- egy egys\'{e}gnyi hossz\'{u}s\'{a}g\'{u} intervallumonk\'{e}nt -- egy-egy (\"{o}sszesen $n$) egyszer\H{u} k\'{e}plet, nevezetesen \'{e}pp $(n-1)$-edfok\'{u} polinom \'{i}rja le.

A \ref{eq:osszegsrsfve2014jan21ha10} k\'{e}pletb\H{o}l sz\'{a}mol\'{a}ssal hat\'{a}roztuk meg az els\H{o} n\'{e}h\'{a}ny $\rho_n$ f\"{u}ggv\'{e}nyt. Az al\'{a}bb l\'{a}that\'{o} ,,Egyenletes Pascal-h\'{a}romsz\"{o}g" als\'{o} sor\'{a}nak sz\'{a}mol\'{a}s\'{a}hoz egy\'{e}b \"{o}tletet is bevetett\"{u}nk. 

\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-5)(4.5,2)
\def \melyseg{-4.2}
\multido{\i=-4+1}{9}{%
\psline[linestyle=dotted, linecolor=lightgray](\i,0.3)(\i,\melyseg)}
%\uput[90](-5,0.3){$-\frac{5}{2}$}
\uput[90](-4,0.3){$-2$}
\uput[90](-3,0.3){$-\frac{3}{2}$}
\uput[90](-2,0.3){$-1$}
\uput[90](-1,0.3){$-\frac{1}{2}$}
\uput[90](0,0.3){$0$}
%\uput[90](5,0.3){$\frac{5}{2}$}
\uput[90](4,0.3){$2$}
\uput[90](3,0.3){$\frac{3}{2}$}
\uput[90](2,0.3){$1$}
\uput[90](1,0.3){$\frac{1}{2}$}

\rput(0,0){$1$}
\rput(-1,-1){$\frac{1+x}{1}$}\rput(1,-1){$\frac{1-x}{1}$}
\rput(-2,-2){$\frac{\left(\frac{3}{2}+x\right)^2}{2}$}
\rput(0,-2){$\frac{3}{4}-x^2$}
\rput(2,-2){$\frac{\left(\frac{3}{2}-x\right)^2}{2}$}
\rput(-3,-3){$\frac{(2+x)^3}{6}$}
\rput(-1,-3){$\frac{(2+x)^3-4(1+x)^3}{6}$}
\rput(1,-3){$\frac{(2-x)^3-4(1-x)^3}{6}$}
\rput(3,-3){$\frac{(2-x)^3}{6}$}
\rput(-4,-4){$\frac{\left(\frac{5}{2}+x\right)^4}{24}$}
\rput(-2,-4){$\frac{\left(\frac{5}{2}+x\right)^4-5\left(\frac{3}{2}+x\right)^4}{24}$}
\rput(0,-4){\footnotesize $\frac{115}{192}-\frac{5}{8}x^2+\frac{1}{4}x^4$}
\rput(2,-4){$\frac{\left(\frac{5}{2}-x\right)^4-5\left(\frac{3}{2}-x\right)^4}{24}$}
\rput(4,-4){$\frac{\left(\frac{5}{2}-x\right)^4}{24}$}
\end{pspicture}

Mintha az $n$-edik sorban \'{a}ll\'{o} f\"{u}ggv\'{e}nyek \"{o}sszege az azonosan $n$ f\"{u}ggv\'{e}ny lenne. Mi\'{e}rt van ez \'{i}gy?

Az explicit k\'{e}plet is megsejthet\H{o}: az $n$-edik sorban az 
$$I_{n,k}=\left[-\frac{n}{2}+k;-\frac{n}{2}+k+1\right],\qquad k\in {0,1,\ldots , (n-1)}$$
intervallumban a $\rho_n$ s\H{u}r\H{u}s\'{e}gf\"{u}ggv\'{e}ny k\'{e}plete
$$\rho_{n,k}=\frac{1}{(n-1)!}\sum_{j=0}^k (-1)^j\binom{n}{j}\left(x+\frac{n}{2}-j\right)^{n-1}.$$
S\H{o}t $k=n$-re
$$\rho_{n,n}=\frac{1}{(n-1)!}\sum_{j=0}^n (-1)^j\binom{n}{j}\left(x+\frac{n}{2}-j\right)^{n-1}=0.$$
Egy\'{u}ttal
$$\rho_{n,k}=\frac{1}{(n-1)!}\sum_{j=0}^{n-k} (-1)^j\binom{n}{j}\left(x-\frac{n}{2}+j\right)^{n-1}.$$


Pl a k\"{o}z\'{e}ps\H{o} tagok:

$$\frac{3}{4}-x^2=\frac{\left(\frac{3}{2}+x\right)^2}{2}-3\frac{\left(\frac{1}{2}+x\right)^2}{2}=\frac{\left(\frac{3}{2}-x\right)^2}{2}-3\frac{\left(\frac{1}{2}-x\right)^2}{2}.$$
$$\frac{115}{192}-\frac{5}{8}x^2+\frac{1}{4}x^4=$$
$$=\frac{\left(\frac{5}{2}+x\right)^4-5\left(\frac{3}{2}+x\right)^4+10\left(\frac{1}{2}+x\right)^4}{24}=
\frac{\left(\frac{5}{2}-x\right)^4-5\left(\frac{3}{2}-x\right)^4+10\left(\frac{1}{2}-x\right)^4}{24}
$$
A hatodik sor tagjai:
$$\frac{(3+x)^5}{120},\qquad
\frac{(3+x)^5-6(2+x)^5}{120},\qquad
\frac{(3+x)^5-6(2+x)^5+15(1+x)^5}{120},$$
$$\frac{(3-x)^5-6(2-x)^5+15(1-x)^5}{120}=\frac{(3+x)^5-6(2+x)^5+15(1+x)^5-20x^5}{120},$$
$$\frac{(3-x)^5-6(2-x)^5}{120}=\frac{(3+x)^5-6(2+x)^5+15(1+x)^5-20x^5+15(-1+x)^5}{120},$$
$$\frac{(3-x)^5}{120}=\frac{(3+x)^5-6(2+x)^5+15(1+x)^5-20x^5+15(-1+x)^5-6(-2+x)^5}{120},$$
\'{e}s
$$0=\frac{(3+x)^5-6(2+x)^5+15(1+x)^5-20x^5+15(-1+x)^5-6(-2+x)^5+(-3+x)^5}{120}.$$
Emellett sejt\'{e}s\"{u}nk szerint m\'{e}g az is igaz, hogy a fenti hat polinom \"{o}sszege a $6$ sz\'{a}m, azaz

$$6=\frac{6(3+x)^5-5\cdot 6(2+x)^5+4\cdot 15(1+x)^5-3\cdot 20x^5+2\cdot 15(-1+x)^5-1\cdot 6(-2+x)^5}{120}.$$



\pagebreak

\section{Val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}gsz\'{a}m\'{i}t\'{a}s a geometri\'{a}ban}

{\bf 1. Feladat (Buffon-f\'{e}le t\H{u}probl\'{e}ma)} Egy padl\'{o}n a parketta vonalai p\'{a}rhuzamosak \'{e}s egym\'{a}st\'{o}l $d$ t\'{a}vols\'{a}gra vannak. V\'{e}letlenszer\H{u}en leejt\"{u}nk egy $t$ hossz\'{u} t\H{u}t $(t<d)$. Mennyi a val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}ge, hogy metsz egy vonalat?

{\bf Megold\'{a}s} A t\H{u} ir\'{a}nya v\'{e}letlenszer\H{u}, az ir\'{a}nya $0$ \'{e}s $\pi$ k\"{o}z\"{o}tt egyenletes eloszl\'{a}s\'{u}, ez\'{e}rt egy, a parketta vonalaira mer\H{o}leges egyenesre vett vet\"{u}let\'{e}nek v\'{a}rhat\'{o} \'{e}rt\'{e}ke
$$\frac{1}{\pi}\int_0^\pi sin(x)t  ~dx=\frac{2t}{\pi}$$
Annak a val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}ge, hogy ez a vet\"{u}let (\'{e}s \'{i}gy a t\H{u} maga) metsz egy vonalat $p=\frac{2}{\pi}\frac{t}{d}$

{\bf Megjegyz\'{e}s} A megold\'{a}s ismeret\'{e}ben lehet\H{o}s\'{e}g\"{u}nk van r\'{a}, hogy k\'{i}s\'{e}rletileg megm\'{e}rj\"{u}k a $\pi$ \'{e}rt\'{e}k\'{e}t! Ha ugyanis sok kis\'{e}rlet alapj\'{a}n a metsz\'{e}s val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}ge $p_{\text{m\'ert}}$, akkor
$$\pi\approx \frac{2}{p_{\text{m\'ert}}}\frac{t}{d}$$

{\bf 2. Feladat} Legyen $S$ konvex soksz\"{o}g a s\'{i}kban. Jel\"{o}lje $pr(\varphi)$ $S$ vet\"{u}let\'{e}nek hossz\'{a}t egy $\varphi$ ir\'{a}ny\'{u} egyenesere. Hat\'{a}rozzuk meg a $pr(\varphi), ~(0\leq \varphi < \pi)$ f\"{u}ggv\'{e}ny ismeret\'{e}ben $S$ ker\"{u}let\'{e}t.

{\bf Megold\'{a}s} A vet\"{u}let pontjaiba $S$-nek pontosan k\'{e}t hat\'{a}rpontja k\'{e}pz\H{o}dik. (V\'{e}ges sok pontot kiv\'{e}ve.) L\'{a}ttuk, hogy egy $t$ hossz\'{u} szakaszt minden ir\'{a}nyba vet\'{i}tve a vet\"{u}let v\'{a}rhat\'{o} hossza $\frac{2}{\pi}t$. Ez\'{e}rt
$$\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} pr(\varphi) d\varphi=E(\text{vet\"{u}let})=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\pi}K(S)=\frac{K(S)}{\pi} $$
$$\int_0^{\pi} pr(\varphi) d\varphi=K(S)$$

{\bf 3. Feladat} Legyen $AB$ egy $1$ hossz\'{u}s\'{a}g\'{u} szakasz. Vet\'{i}ts\"{u}k egy v\'{e}letlenszer\H{u} ir\'{a}ny\'{u} t\'{e}rbeli egyenesre. Hat\'{a}rozzuk meg a vet\"{u}let hossz\'{a}nak v\'{a}rhat\'{o} \'{e}rt\'{e}k\'{e}t.

{\bf Megold\'{a}s} Az egyenes forgat\'{a}sa \'{e}s AB r\"{o}gz\'{i}t\'{e}se helyett r\"{o}gz\'{i}ts\"{u}k az $x$ tengyelyt \'{e}s forgassuk a szakaszt. Feltehet\H{o}, hogy egyik v\'{e}gpontja az orig\'{o}. Ismert, hogy az egys\'{e}gg\"{o}mb\"{o}t az $x$ tengelyre mer\H{o}leges, egym\'{a}st\'{o}l egyenl\H{o} t\'{a}vols\'{a}gra l\'{e}v\H{o} s\'{i}kokkal felszeletelve a szeletekbe ugyanannyi jut az egys\'{e}gg\"{o}mb felsz\'{i}n\'{e}b\H{o}l. \'{I}gy a g\"{o}mbfelsz\'{i}n pontjainak els\H{o} koordin\'{a}t\'{a}ja egyenletes eloszl\'{a}s\'{u} $[-1,1]$-en. Teh\'{a}t
$E(\text{vet\"{u}let})=\frac{1}{2}\int_{-1}^1 |x| ~dx=\frac{1}{2}$

{\bf 4. Feladat} Felvesz\"{u}nk k\'{e}t pontot az egys\'{e}g{\bf k\"{o}r} belsej\'{e}ben egyenletes val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}geloszl\'{a}s szerint. Hat\'{a}rozzuk meg a t\'{a}vols\'{a}guk $E$ v\'{a}rhat\'{o} \'{e}rt\'{e}k\'{e}t.

{\bf Megold\'{a}s} El\H{o}sz\"{o}r meghat\'{a}rozzuk az egys\'{e}gk\"{o}r\"{o}n egy ker\"{u}leti pont \'{e}s egy v\'{e}letlen bels\H{o} pont t\'{a}vols\'{a}g\'{a}nak $E'$ v\'{a}rhat\'{o} \'{e}rt\'{e}k\'{e}t. Legyen a ker\"{u}leti pont $(1,0)$, szeletelj\"{u}k fel a k\"{o}rlapot innen indul\'{o} f\'{e}legyenesekkel. $\alpha$ ir\'{a}ny\'{u} f\'{e}legyenesnek nevezz\"{u}k azt, amin\'{e}l a "fels\H{o}" \'{i}v hossza $\alpha$. $(0<\alpha<2\pi)$ A f\'{e}legyenesek keskeny h\'{a}romsz\"{o}gekre bontj\'{a}k a k\"{o}rlapot. $E'$ kisz\'{a}m\'{i}t\'{a}s\'{a}hoz megn\'{e}zz\"{u}k, hogy az egyes h\'{a}romsz\"{o}geken mekkora a t\'{a}vols\'{a}g v\'{a}rhat\'{o} \'{e}rt\'{e}ke, majd ezt \'{a}tlagoljuk figyelembe v\'{e}ve, hogy k\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o} $\alpha$-\'{a}kra mekkora az $\alpha$ \'{e}s $\alpha + \delta$ ir\'{a}ny\'{u} egyenesek k\"{o}zti h\'{a}romsz\"{o}g ter\"{u}lete.

Egy kis h\'{a}romsz\"{o}g egyenletesen vastagodik az $(0,1)$ pontt\'{o}l a  k\"{o}rlap \'{e}s a f\'{e}legyenes $d$ t\'{a}vols\'{a}gra l\'{e}v\H{o} v\'{e}gpontj\'{a}ig. \'{I}gy a t\'{a}vols\'{a}g v\'{a}rhat\'{o} \'{e}rt\'{e}ke $\frac{2}{3}d$. Ha az egyenes ir\'{a}nya $\alpha$, akkor $d=2\sin{\frac{\alpha}{2}}$.

Az $\alpha$ ir\'{a}ny\'{u} f\'{e}legyenes feletti k\"{o}rszelet ter\"{u}lete $T(\alpha)=\frac{\alpha-\sin{\alpha}}{2}$. Deriv\'{a}ljuk ezt, \'{I}gy kapjuk az $f$ s\H{u}r\H{u}s\'{e}gf\"{u}ggv\'{e}nyt. $f(x)=\frac{1-\cos{x}}{2}=\sin^2{\frac{x}{2}}$  $(0\leq x \leq 2\pi )$ Erre igaz, hogy $\int_{\alpha}^{\beta} f(x)=T(\beta)-T(\alpha)$.
Ezek alapj\'{a}n $E'$ \'{i}gy sz\'{a}m\'{i}that\'{o}:
$$E'=\frac{1}{T_{\text{k\"{o}r}}}\int_0^{2\pi} \frac{2}{3}\cdot 2\sin{\frac{x}{2}}\cdot f(x) ~dx=
\frac{4}{3\pi}\int_0^{2\pi} \sin^3{\frac{x}{2}} ~dx=$$
$$=\frac{8}{3\pi}\int_0^{\pi} \sin^3{x} ~dx=
\frac{8}{3\pi}\left[\frac{\cos^3{x}}{3}-\cos{x}\right]_0^{\pi}=
\frac{8}{3\pi}\frac{4}{3}=\frac{32}{9\pi}$$

Most r\'{a}t\'{e}r\"{u}nk $E$ meghat\'{a}roz\'{a}s\'{a}ra. Legyen $\chi$ az val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}gi v\'{a}ltoz\'{o}, amely egyenl\H{o} a k\'{e}t pont orig\'{o}t\'{o}l m\'{e}rt t\'{a}vols\'{a}ga k\"{o}z\"{u}l a nagyobbikkal. $P(\chi\leq r)=(r^2)^2=r^4$. Ennek deriv\'{a}l\'{a}s\'{a}val kaphat\'{o} a s\H{u}r\H{u}s\'{e}gf\"{u}ggv\'{e}ny: $$f_{\chi}(r)=4r^3~(0\leq r \leq 1)$$

Ha tudjuk, hogy a t\'{a}volabbi pont az orig\'{o}t\'{o}l $r$ t\'{a}vols\'{a}gra van, akkor a k\'{e}t pont egy $r$ sugar\'{u} k\"{o}rlap hat\'{a}r\'{a}n, illetve a belsej\'{e}ben van. T\'{a}vols\'{a}guk v\'{a}rhat\'{o} \'{e}rt\'{e}ke \'{i}gy $rE'$. Most m\'{a}r kisz\'{a}m\'{i}thatjuk $E$-t:
$$E=\int_0^1 rE'f_{\chi}(r) ~dr=\frac{32}{9\pi}\int_0^1 4r^4~dr=\frac{32}{9\pi}\cdot \frac{4}{5}=\frac{128}{45\pi}\approx 0.905$$

{\bf 5. Feladat} Felvesz\"{u}nk k\'{e}t pontot az egys\'{e}g{\bf g\"{o}mb} belsej\'{e}ben egyenletes val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}geloszl\'{a}s szerint. Hat\'{a}rozzuk meg a t\'{a}vols\'{a}guk $E$ v\'{a}rhat\'{o} \'{e}rt\'{e}k\'{e}t.

{\bf 1. Megold\'{a}s} Ism\'{e}t $E'$ meghat\'{a}roz\'{a}s\'{a}val kezdj\"{u}k, ez az egys\'{e}gg\"{o}mb egy v\'{e}letlen bels\H{o} pontj\'{a}nak \'{e}s egy r\"{o}gz\'{i}tett hat\'{a}rpontnak a t\'{a}vols\'{a}ga. Legyen a hat\'{a}rpont $(1,0,0)$. $E'$ kisz\'{a}m\'{i}t\'{a}s\'{a}hoz szeletelj\"{u}k fel a g\"{o}mb\"{o}t az $x$ tengelyre mer\H{o}leges s\'{i}kokkal, majd a szeleteket bontsuk koncentrikus k\"{o}r\"{o}kre.
$$E'=\frac{1}{T_{\text{g\"{o}mb}}}\int_{-1}^{1} \left(\int_0^{\sqrt{1-x^2}} 2h\pi\cdot\sqrt{(1-x)^2+h^2}~dh\right)dx=$$
$$=\frac{3}{2}\int_{-1}^{1} \left(\int_0^{\sqrt{1-x^2}} h\cdot\sqrt{(1-x)^2+h^2}~dh\right)dx=$$
$$\frac{3}{2}\int_{-1}^{1} \left[ \frac{1}{3}((1-x)^2+h^2)^{\frac{3}{2}} \right]_0^{\sqrt{1-x^2}} dx=$$
$$=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} ((1-x)^2+1-x^2)^{\frac{3}{2}}-((1-x)^2)^{\frac{3}{2}} dx=$$
$$\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} (2-2x)^{\frac{3}{2}}-(1-x)^3 dx=
\frac{1}{2}\int_{0}^{2} (2t)^{\frac{3}{2}}-t^3 dt=\frac{6}{5}$$

Most r\'{a}t\'{e}r\"{u}nk $E$ meghat\'{a}roz\'{a}s\'{a}ra. Legyen $\chi$ az val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}gi v\'{a}ltoz\'{o}, amely egyenl\H{o} a k\'{e}t pont orig\'{o}t\'{o}l m\'{e}rt t\'{a}vols\'{a}ga k\"{o}z\"{u}l a nagyobbikkal. $P(\chi\leq r)=(r^3)^2=r^6$. Ennek deriv\'{a}l\'{a}s\'{a}val kaphat\'{o} a s\H{u}r\H{u}s\'{e}gf\"{u}ggv\'{e}ny: $$f_{\chi}(r)=6r^5~(0\leq r \leq 1)$$

Ha tudjuk, hogy a t\'{a}volabbi pont az orig\'{o}t\'{o}l $r$ t\'{a}vols\'{a}gra van, akkor a k\'{e}t pont egy $r$ sugar\'{u} g\"{o}mb hat\'{a}r\'{a}n, illetve a belsej\'{e}ben van. T\'{a}vols\'{a}guk v\'{a}rhat\'{o} \'{e}rt\'{e}ke \'{i}gy $rE'$. Most m\'{a}r kisz\'{a}m\'{i}thatjuk $E$-t:
$$E=\int_0^1 rE'f_{\chi}(r) ~dr=\frac{6}{5}\int_0^1 6r^6~dr=\frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}=\frac{36}{35}\approx 1.028$$

{\bf 2. Megold\'{a}s} A 3. Feladat alapj\'{a}n el\'{e}g lenne a k\'{e}t pont els\H{o} koordin\'{a}t\'{a}ban vett elt\'{e}r\'{e}s\'{e}nek v\'{a}rhat\'{o} \'{e}rt\'{e}k\'{e}t meghat\'{a}rozni, $E$ ennek a k\'{e}tszerese. Az egys\'{e}gg\"{o}mb azon r\'{e}szeinek ter\"{u}lete, ahol az els\H{o} koordin\'{a}ta $v$ \'{e}s $v+\delta$ illetve $u$ \'{e}s $u+\delta$ k\"{o}z\'{e} esik, \'{u}gy ar\'{a}nylik egym\'{a}shoz, mint $1-v^2$ \'{e}s $1-u^2$, ha $\delta\rightarrow 0$. Ez\'{e}rt az els\H{o} koordin\'{a}t\'{a}t megad\'{o} val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}gi v\'{a}ltoz\'{o} s\H{u}r\H{u}s\'{e}gf\"{u}ggv\'{e}nye $f(t)=\frac{3}{4}(1-t^2), ~(-1\leq t\leq 1)$. (A konstans szorz\'{o} $\int_{-1}^1 f(t)~dt=1$ miatt kell.)

Annak a val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}gi v\'{a}ltoz\'{o}nak, ami a k\'{e}t els\H{o} koordin\'{a}ta elt\'{e}r\'{e}s\'{e}t \'{i}rja le, ez lesz a s\H{u}r\H{u}s\'{e}gf\"{u}ggv\'{e}nye:
$$g(d)=2\cdot\int_{d-1}^1 f(t)f(t-d)~dt=\frac{9}{8} \int_{d-1}^1 (1-t^2)(1-(t-d)^2)~dt=$$
$$=-\frac{3}{80}d^5+\frac{3}{4}d^3-\frac{3}{2}d^2+\frac{6}{5}$$
Itt az\'{e}rt szoroztunk 2-vel, mert a k\'{e}t pont felcser\'{e}lhet\H{o}. Az els\H{o} koordin\'{a}t\'{a}k elt\'{e}r\'{e}s\'{e}nek v\'{a}rhat\'{o} \'{e}rt\'{e}ke:
$$\int_0^2 g(d)\cdot d~dd=\frac{18}{35} $$
$E$ ennek a k\'{e}tszerese, azaz $\frac{36}{35}$.

{\bf Megjegyz\'{e}s} A fenti k\'{e}t megold\'{a}si m\'{o}dszer elm\'{e}letben haszn\'{a}lhat\'{o} a s\'{i}kbeli esetben is, azonban a sz\'{a}mol\'{a}s sor\'{a}n komoly technikai neh\'{e}zs\'{e}gekkel szembes\"{u}l\"{u}nk.

\newpage
{\bf Feladat (K\"{u}rsch\'{a}k verseny, 2011/3.)} Adott a s\'{i}kon $2n$ pont \'{e}s $3n$ egyenes. Bizony\'{i}tsuk be, hogy van a s\'{i}kon olyan $P$ pont, hogy $P$-nek a $3n$ egyenest\H{o}l val\'{o} t\'{a}vols\'{a}gainak \"{o}sszege kisebb, mint $P$-nek a $2n$ pontt\'{o}l val\'{o} t\'{a}vols\'{a}gainak \"{o}sszege.

{\bf Megold\'{a}s} Legyen $O$ egy pont a s\'{i}kon. Legyen $r$ az $O$ t\'{a}vols\'{a}g\'{a}nak maximuma az $5n$ adott objektumt\'{o}l. Vegy\"{u}nk egy $O$ k\"{o}z\'{e}ppont\'{u} $R$ sugar\'{u} k\"{o}rt. Ha $R$ el\'{e}g nagy, akkor bel\'{a}tjuk, hogy lesz rajta megfelel\H{o} $P$ pont. A k\"{o}rvonal egy pontj\'{a}nak t\'{a}vols\'{a}ga egy adott pontt\'{o}l legal\'{a}bb $R-r$, ezen t\'{a}vols\'{a}gok \"{o}sszege \'{i}gy legal\'{a}bb $2nR-2nr$. Ha $e$ egy adott egyenes, legyen $e'$ a vele p\'{a}rhuzamos $O$-n \'{a}tmen\H{o} egyenes. Ha $p$ a k\"{o}rvonal egy pontja, akkor $p$ \'{e}s $e$ t\'{a}vols\'{a}ga legfeljebb annyi, mint $p$ \'{e}s $e'$ t\'{a}vols\'{a}ga plusz $r$. $p$ \'{e}s $e'$ t\'{a}vols\'{a}g\'{a}nak \'{a}tlaga, mik\"{o}zben $p$ fut a k\"{o}r\"{o}n 
$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} R|\sin(x)| =\frac{2R}{\pi}$$
\'{i}gy \"{o}sszegezve a $3n$ egyenesre legfeljebb $\frac{2}{\pi}3nR+3nr$ lesz az \'{a}tlagos t\'{a}vols\'{a}g\"{o}sszeg. Ha $R$ el\'{e}g nagy, akkor
$$\frac{2}{\pi}3nR+3nr < 2nR-2nr$$
$$\frac{5}{2\left(1-\frac{3}{\pi}\right)}r < R$$
Teh\'{a}t valamely $P$ pont j\'{o} lesz a k\"{o}rvonalon (p\'{e}ld\'{a}ul az, aminek minim\'{a}lis a t\'{a}vols\'{a}g\"{o}sszege az egyenesekt\H{o}l).


\section{Megismer\'{e}s Bayes m\'{o}dj\'{a}n}


\textbf{HRPVA10} {Milyen kvarkok? -- fikt\'{i}v elm\'{e}let Bayesi\'{a}nus vizsg\'{a}lata})\cite{HRPVA}

Egy elm\'{e}leti fizikus arra a k\"{o}vetkeztet\'{e}sre jut, hogy a
neutron tartalmaz m\'{e}g h\'{a}rom eleddig ismeretlen t\'{i}pus\'{u} kvarkot, amelynek k\'{e}t
lehets\'{e}ges v\'{a}ltozata van. A k\'{e}t v\'{a}ltozatot fizikusunk ,,feh\'{e}r'' \'{e}s
,,fekete'' kvarknak nevezte el, de nem tudta megmondani, hogy a
h\'{a}rom \'{u}jfajta kvark k\"{o}z\"{o}tt h\'{a}ny feh\'{e}r \'{e}s h\'{a}ny fekete van: az elm\'{e}let
mind a n\'{e}gy lehet\H{o}s\'{e}get (0, 1, 2 vagy 3 feh\'{e}r kvark) egyform\'{a}n megengedte.

Siker\"{u}lt azonban megmutatnia, hogy a feh\'{e}r-fekete sz\'{i}nmegoszl\'{a}s
k\'{i}s\'{e}rletileg vizsg\'{a}lhat\'{o}. Amikor ugyanis elektronokkal bomb\'{a}zzuk a
neutronokat, az \'{u}j kvarkok egyike nagyon ritk\'{a}n, v\'{e}letlenszer\H{u}en, virtu\'{a}lis r\'{e}\-szecs\-ke
form\'{a}j\'{a}ban r\"{o}vid id\H{o}re kil\'{e}p a neutronb\'{o}l, \'{e}s az elektron sz\'{o}r\'{o}dni tud
raj\-ta. Az ,,elm\'{e}let'' szerint a feh\'{e}r \'{e}s a fekete kvark k\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o}
m\'{o}don sz\'{o}rja az elektronokat (az egyik mondjuk ,,jobbra'', a m\'{a}sik
,,balra''), ez\'{e}rt ebb\H{o}l a k\'{i}s\'{e}rletb\H{o}l meg lehet tudni, h\'{a}ny feh\'{e}r \'{e}s h\'{a}ny
fekete kvark van a neutronokban.

Ez a k\'{i}s\'{e}rlet azonban nagyon k\"{o}lts\'{e}ges. A k\"{o}lts\'{e}gvet\'{e}st
\'{u}gy \'{a}llap\'{i}tott\'{a}k meg, hogy a k\'{i}s\'{e}rletet addig
folytathatjuk, ameddig --- mondjuk --- 5 benn\"{u}nket \'{e}rdekl\H{o} folyamatot nem tal\'{a}lunk, teh\'{a}t 5 sz\'{o}r\'{o}d\'{a}st figyelhet\"{u}nk meg.

Tegy\"{u}k fel, hogy a k\'{i}s\'{e}rlet megt\"{o}rt\'{e}nt \'{e}s az 5 folyamatb\'{o}l 2 tartozott
feh\'{e}r, 3 pedig fekete kvarkhoz. Milyen a 3 kvark sz\'{i}nmegoszl\'{a}sa?


\medskip

\textbf{Megold\'{a}s}

Ahhoz, hogy el tudjunk indulni a feladat megold\'{a}s\'{a}ban meg kell \'{a}llapodni egy prior (el\H{o}zetes) val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}geloszl\'{a}sban. Err\H{o}l nem a matematika d\"{o}nt, sokkal ink\'{a}bb a m\'{a}r megismert fizikai k\"{o}r\"{u}lm\'{e}nyek \'{e}s ismeretek. Mi lesz a prior? Az adott esetben a k\'{i}s\'{e}rlet el\H{o}tt fogalmunk sincs r\'{o}la, milyen a sz\'{i}neloszl\'{a}s.
Ezt a teljes tudatlans\'{a}got val\'{o}sz\'{i}n\H{u}leg akkor fejezz\"{u}k ki
megfelel\H{o} m\'{o}don, ha kezdetben a feh\'{e}r kvarkok $M$ sz\'{a}m\'{a}nak mind a n\'{e}gy lehets\'{e}ges \'{e}rt\'{e}k\'{e}t egyenl\H{o}en val\'{o}sz\'{i}n\H{u}nek tekintj\"{u}k\footnote{Ez Laplace vitathat\'{o} megk\"{o}zel\'{i}t\'{e}se. ,,Ez a tudatlans\'{a}g egyenletes eloszl\'{a}s\'{u}" -- g\'{u}nyolj\'{a}k ellenfelei. L\'{a}sd \cite{POLYPL}[144-145. o.]}:
\[P_E(M) = \frac{1}{4}\]
($E$ itt az ,,el\H{o}zetes'' sz\'{o}ra utal, ez a val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}g semmik\'{e}ppen sem f\"{u}gghet att\'{o}l, hogy mi a k\'{e}s\H{o}bb
elv\'{e}gzend\H{o} k\'{i}s\'{e}rlet eredm\'{e}nye).


Most m\'{a}r alkalmazhatjuk a Bayes-t\'{e}telt. Annak val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}ge, hogy a feh\'{e}r goly\'{o}k sz\'{a}ma $M$ a k\'{i}s\'{e}rlet elv\'{e}gz\'{e}se ut\'{a}n:
\[P_U(M) = \frac{1}{12}M^2(3-M)^3.
\]


\medskip

\textbf{milyenermebayesHRP}({Milyen \'{e}rme? -- Bayesi\'{a}nus vizsg\'{a}lat})

Egy p\'{e}nz\'{e}rm\'{e}r\H{o}l szeretn\'{e}nk eld\"{o}nteni, hogy milyen, feldob\'{a}s eset\'{e}n milyen es\'{e}llyel lesz fej illetve \'{i}r\'{a}s. Jel\"{o}lj\"{u}k $p$-vel annak az es\'{e}ly\'{e}t, hogy fej lesz -- \'{e}s \'{i}gy $(1-p)$ es\'{e}llyel \'{i}r\'{a}s -- de ne d\"{o}nts\"{u}k el el\H{o}re $p$ \'{e}rt\'{e}k\'{e}t csak annyit tegy\"{u}nk fel (prior val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}g), hogy $p$ \'{e}rt\'{e}ke valamely $H_0$ val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}gi v\'{a}ltoz\'{o} szerint oszlik el a $[0;1]$ intervallumban. Legyen most a $H_0$ eloszl\'{a}s az egyenletes eloszl\'{a}s.

\smallskip

\emph{a)} Mennyi az es\'{e}lye a $H_0$ eloszl\'{a}sn\'{a}l, hogy ha feldobunk egy p\'{e}nz\'{e}rm\'{e}t, az fej lesz?

\smallskip

\emph{b)} F\"{o}ldobtuk, fej lett. Az eredm\'{e}ny alapj\'{a}n a Bayes-t\'{e}tel milyen $H_1$ val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}geloszl\'{a}st ad $p$ \'{e}rt\'{e}k\'{e}re (posterior val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}g)?

\smallskip

\emph{c)} Legyen most $H_1$ a prior val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}g(eloszl\'{a}s). Mennyi az \'{i}r\'{a}s dob\'{a}s es\'{e}lye?


\smallskip

\emph{d)} Feldobtuk, \'{i}r\'{a}s lett. Mindezek alapj\'{a}n a Bayes-t\'{e}tel milyen $H_2$ val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}geloszl\'{a}st ad $p$ \'{e}rt\'{e}k\'{e}re (posterior val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}g)?

\smallskip

\emph{e)} A $H_2$ eloszl\'{a}s eset\'{e}n mennyi a val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}ge, hogy ha feldobjuk az \'{e}rm\'{e}t, fej lesz?


\smallskip

\emph{f)} A $H_0$ prior val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}geloszl\'{a}st felt\'{e}telezve (egyenletes eloszl\'{a}s), mennyi az es\'{e}lye annak, hogy $m$ k\'{i}s\'{e}rletb\H{o}l $r$-szer lesz fej?
Ha $m$ elv\'{e}gzett k\'{i}s\'{e}rletb\H{o}l t\'{e}nyleg $r$-szer lett fej, akkor milyen $H_m^r$ posterior val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}geloszl\'{a}st ad a Bayes t\'{e}tel? Enn\'{e}l az eloszl\'{a}sn\'{a}l mennyi a fej dob\'{a}s\'{a}nak es\'{e}lye?

\medskip

\textbf{Megold\'{a}s}

\emph{a)} A fej dob\'{a}s val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}ge a $H_0$ prior val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}geloszl\'{a}s eset\'{e}n

\begin{equation}\label{eq:fejbayesermevizsgha2013marc05meg20}
P(F)=\int_0^1\:p\cdot H_0(p)\,dp=\int_0^1\:p\,dp=\frac{1}{2}.
\end{equation}

\emph{b)} A Bayes-t\'{e}tel szerint (l\'{a}sd az al\'{a}bbi  \'{a}br\'{a}t):


\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.2)(4,2.5)
\rput(0,0){
\pspolygon[linewidth=0pt, fillstyle=solid, fillcolor=lightgray](0,1)(1,1)(1,0)(0,0)(0,1)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-0.2,0)(1.3,0)\uput[0](1.3,0){$p$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-0.2)(0,2.2)\uput[90](0,2.2){$H(p)$}
\psline(0.5,0.1)(0.5,-0.1)\uput[-90](0.5,-0.1){$\frac{1}{2}$}
\psline(1,0.1)(1,-0.1)\uput[-90](1,-0.1){$1$}
\psline(0.1,0.5)(-0.1,0.5)\uput[180](-0.1,0.5){$\frac{1}{2}$}
\psline(0.1,1)(-0.1,1)\uput[180](-0.1,1){$1$}
\psline(0.1,1.5)(-0.1,1.5)\uput[180](-0.1,1.5){$\frac{3}{2}$}
\psline(0.1,2)(-0.1,2)\uput[180](-0.1,2){$2$}
\uput[-135](0,0){$0$}
\psline[linewidth=1pt](0,1)(1,1)
\rput(0.5,2){$H_0$}}
\rput(2,0){
\pspolygon[linewidth=0pt, fillstyle=solid, fillcolor=lightgray](0,0)(1,2)(1,0)(0,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-0.2,0)(1.3,0)\uput[0](1.3,0){$p$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-0.2)(0,2.2)\uput[90](0,2.2){$H(p)$}
\psline(0.5,0.1)(0.5,-0.1)\uput[-90](0.5,-0.1){$\frac{1}{2}$}
\psline(1,0.1)(1,-0.1)\uput[-90](1,-0.1){$1$}
\psline(0.1,0.5)(-0.1,0.5)\uput[180](-0.1,0.5){$\frac{1}{2}$}
\psline(0.1,1)(-0.1,1)\uput[180](-0.1,1){$1$}
\psline(0.1,1.5)(-0.1,1.5)\uput[180](-0.1,1.5){$\frac{3}{2}$}
\psline(0.1,2)(-0.1,2)\uput[180](-0.1,2){$2$}
\uput[-135](0,0){$0$}
\psline[linewidth=1pt](0,0)(1,2)
\rput(0.5,2){$H_1$}}
\end{pspicture}

\begin{equation}\label{eq:fejbayesermevizsgha2013marc05meg20v}
H_1(p)=\frac{pH_0(p)}{\int_0^1p\cdot H_0(p)\,dp}=2p.
\end{equation}


\emph{c)} Az \'{i}r\'{a}s val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}ge a $H_1$ prior val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}geloszl\'{a}s eset\'{e}n

\begin{equation}\label{eq:fejbayesermevizsgha2013marc05meg60}
P(I)=\int_0^1\:(1-p)\cdot H_1(p)\,dp=\int_0^1(1-p)\cdot 2p\,dp=\frac{1}{3}.
\end{equation}

\emph{d)} A Bayes-t\'{e}tel szerint most (l\'{a}sd az al\'{a}bbi  \'{a}br\'{a}t):
\begin{equation}\label{eq:fejbayesermevizsgha2013marc05meg80}
H_2(p)=\frac{(1-p)H_1(p)}{\int_0^1(1-p)\cdot H_1(p)\,dp}=6p(1-p).
\end{equation}


%\includegraphics{abra/maj032013valhastat310megd.png}


\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.2)(4,2.5)
\rput(0,0){
\pspolygon[linewidth=0pt, fillstyle=solid, fillcolor=lightgray](0,0)(1,2)(1,0)(0,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-0.2,0)(1.3,0)\uput[0](1.3,0){$p$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-0.2)(0,2.2)\uput[90](0,2.2){$H(p)$}
\psline(0.5,0.1)(0.5,-0.1)\uput[-90](0.5,-0.1){$\frac{1}{2}$}
\psline(1,0.1)(1,-0.1)\uput[-90](1,-0.1){$1$}
\psline(0.1,0.5)(-0.1,0.5)\uput[180](-0.1,0.5){$\frac{1}{2}$}
\psline(0.1,1)(-0.1,1)\uput[180](-0.1,1){$1$}
\psline(0.1,1.5)(-0.1,1.5)\uput[180](-0.1,1.5){$\frac{3}{2}$}
\psline(0.1,2)(-0.1,2)\uput[180](-0.1,2){$2$}
\uput[-135](0,0){$0$}
\psline[linewidth=1pt](0,0)(1,2)
\rput(0.5,2){$H_1$}
}

\rput(2,0){
\pscustom[linewidth=0, fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]{\psplot{0}{1}{x dup neg 1 add 6 mul mul}
\psline(1,0)(0,0)
}
\psline[linewidth=2pt]{->}(-0.2,0)(1.3,0)\uput[0](1.3,0){$p$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-0.2)(0,2.2)\uput[90](0,2.2){$H(p)$}
\psline(0.5,0.1)(0.5,-0.1)\uput[-90](0.5,-0.1){$\frac{1}{2}$}
\psline(1,0.1)(1,-0.1)\uput[-90](1,-0.1){$1$}
\psline(0.1,0.5)(-0.1,0.5)\uput[180](-0.1,0.5){$\frac{1}{2}$}
\psline(0.1,1)(-0.1,1)\uput[180](-0.1,1){$1$}
\psline(0.1,1.5)(-0.1,1.5)\uput[180](-0.1,1.5){$\frac{3}{2}$}
\psline(0.1,2)(-0.1,2)\uput[180](-0.1,2){$2$}
\uput[-135](0,0){$0$}
\psplot[linewidth=1pt]{0}{1}{x dup neg 1 add 6 mul mul}
\rput(0.5,2){$H_2$}
}
\end{pspicture}

\emph{e)} A fej val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}ge:

\begin{equation}\label{eq:fejbayesermevizsgha2013marc05meg200}
P(F)=\int_0^1\:p\cdot H_2(p)\,dp=\int_0^1\:6p^2(1-p)\,dp=\frac{1}{2}.
\end{equation}

\smallskip

\emph{f)} $H_m^r(p)
= \frac{(m + 1)!}{r!(m - r)!}p^r(1 - p)^{m-r},$
a k\"{o}vetkez\H{o} pr\'{o}b\'{a}lkoz\'{a}sra a fej es\'{e}lye
\[\int_0^1\:p\cdot H_m^r(p)\,dp = \frac{r + 1}{m + 2}.\]


\begin{thebibliography}{9*} \addcontentsline{toc}{chapter}{Irodalomjegyz\'{e}k}

\bibitem[HRPVA]{HRPVA} Hrask\'{o} P\'{e}ter, {\em Val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}g}, Fizikai Szemle 2008/7-8, ill. a
,,Biztos, hogy az energia megmarad? -- \'{e}s m\'{a}s essz\'{e}k a fizik\'{a}r\'{o}l" k\"{o}tetben, Typotex 2012


\bibitem[POLYPL]{POLYPL} P\'{o}lya Gy\"{o}rgy, {\em A plauzibilis k\"{o}vetkeztet\'{e}s} (A matematikai gondolkod\'{a}s mûv\'{e}szete II.), Gondolat Kiad\'{o}, 1989.

\bibitem[SOLTVA]{SOLTVA} Solt Gy\"{o}rgy {\em Val\'{o}sz\'{i}n\H{u}s\'{e}gsz\'{a}m\'{i}t\'{a}s} , B\'{o}lyai sorozat, M\H{u}szaki K\"{o}nyvkiad\'{o}, 1973.


\end{thebibliography}
\end{document}
