a) Határozza meg az $ a_n = \dfrac{n+4}{n} $ sorozat határértékét!
b) Igazolja, hogy az $ a_n $ sorozat szigorúan monoton csökkenő!
c) Határozza meg azokat az $ n $ pozitív egész számokat, amelyekre teljesül, hogy

$ \dfrac{(n+4)!}{n!}=24(n+1)(n+3) $

d) Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett $ f (x) = 24(x + 1)(x + 3) $ függvény grafikonja és az $ X $ tengely által közbezárt korlátos síkidom területét!

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Domi két héten keresztül felüléseket végzett reggeli tornaként. A második naptól kezdve minden reggel 5-tel több felülést végzett, mint az előző napon. A két hét alatt összesen 1001 felülést végzett.
a) Hány felülést végzett Domi a legelső napon, és hányat a legutolsón?
Dalma az 5250 méter hosszú margitszigeti futókörön edz. Egyik nap két kört futott: a második körben az átlagsebessége 3,5 km/h-val kisebb volt, mint az első körben. A teljes kétkörös futás átlagsebessége 12 km/h volt. (Az átlagsebesség a megtett út hosszának és az út megtételéhez szükséges időnek a hányadosa.)
b) Határozza meg Dalma átlagsebességét az első, illetve a második körben!
c) Írja a következő mondatban a pontozott vonalakra a megadottak közül a megfelelő szavakat úgy, hogy az állítás igaz legyen: számtani, harmonikus, mértani.
"Két különböző pozitív valós szám ......................... közepe mindig nagyobb, mint a ......................... közepe, de kisebb, mint a ......................... közepe."

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

A finom homokban az egyes gömb alakú homokszemek sugarát egységesen 0,1 mm-nek tekinthetjük. Egy 2 dl-es poharat teletöltünk finom homokkal. A homok (mivel a gömb alakú homokszemek nem töltik ki teljesen a teret) a pohár űrtartalmának 60%-át tölti ki.
a) Határozza meg, hány homokszem található a 2 dl-es pohárban! Válaszát millióra kerekítve adja meg!
Egy építkezéshez homokot rendelt Szabó úr. A homok megérkezett, és lerakás után a homokkupac jó közelítéssel egy 1,8 méter alkotójú forgáskúpnak tekinthető.
b) Határozza meg a homokkupac térfogatát, ha alapkörének átmérője 3,1 méter!
c) Határozza meg az 1,8 méter alkotójú forgáskúpok közül annak a sugarát és a magasságát, amelynek a térfogata maximális! Mekkora ez a maximális térfogat?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

A $ k_1 $ kör egyenlete a derékszögű koordináta-rendszerben $ x^2-4x+y^2-12y=13 $.
a) Határozza meg a $ k_1 $ kör sugarát és középpontjának koordinátáit!
A $ k_1 $ körbe írható $ ABCD $ húrtrapéz csúcsai $ A(4; 13) $, $ B(-5; 4) $, $ C(4; -1) $ és $ D(9; 4) $.
b) Határozza meg a húrtrapéz magasságát és szögeit!
A $ k_2 $ kör egyenlete a derékszögű koordináta-rendszerben $ x^2+y^2=53 $.
c) Hány olyan pont található a $ k_2 $ körvonalon, amelynek mindkét koordinátája egész szám?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Egy $ k $ és egy $ 2k $ pontú teljes gráfnak összesen $ 697 $ éle van.
a) Határozza meg $ k $ értékét!
Egy kispályás labdarúgó-bajnokságban hat csapat körmérkőzést játszik egymással: mindegyik csapat játszik mindegyik másikkal egy-egy mérkőzést. A bajnokság megkezdése előtt a szervezők a mérkőzések közül kisorsolnak hármat, és ezeken a mérkőzéseken doppingellenőrzést tartanak.
b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy lesz olyan csapat, amelyik mindhárom kisorsolt mérkőzésen szerepel!
Egy mérkőzés előtt az öltözőben hatan vannak, akik közül néhányan már kezet fogtak egymással. Mind a hat embertől megkérdeztük, hogy eddig hány másik emberrel fogott kezet. A válaszok között van öt különböző érték.
c) Hány kézfogás történhetett eddig összesen?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba