Jelölje $ d(n)$ az $n>0$ egész szám pozitív osztóinak a számát. Tegyük fel, hogy $ d(k)^2=d(k^4)$. Bizonyítsuk be, hogy alkalmas $ j\ge0$ egészre $d(k)=3^j$.

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

A síkon egy szakasz kísérő sávjának nevezzük azt a két párhuzamos egyenes által határolt sávot (az egyeneseket is hozzáértve), amelynek a középvonalán fekszik a szakasz, és amelynek a szélessége egyenlő a szakasz hosszával. Bizonyítsuk be, hogy bármely síkbeli négyszöget lefedik a négy oldalszakaszához tartozó kísérő sávok.

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

A legalább másodfokú, valós együtthatós

$ p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$

polinomnak $n$ darab valós gyöke van, amelyek mindegyike a $(0, 1)$ nyílt intervallumba esik. Bizonyítsuk be, hogy ekkor $a_0+a_1+\ldots+a_{n-2}>0$

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Legyen $p > 2$ prímszám. Hány olyan részhalmaza van a $\{0, 1,\ldots,p-1\}$ halmaznak, amely elemeinek az összege osztható $p$-vel? (Az üres halmaz elemeinek összegét 0-nak tekintjük.)

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Legyen $A, B, C, D$ négy különböző pont a térben. Tegyük föl, hogy az $AB$, $BC$, $CD$ és $DA$ egyenesek érintenek egy gömböt az $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ szakaszok egy-egy belső pontjában. Bizonyítsuk be, hogy a négy érintési pont egy síkban van.

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba